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Fraktale Märkte II: Effiziente Märkte und die Klassik

Können Märkte - so wie von Fama postuliert - wirklich effizient sein? Sind also Renditen unabhängig von ihrer Vergangenheit? Wer sich tiefer mit dieser Frage auseinandersetzen will, wird mit den klassischen Säulen der Finanzmathematik konfrontiert.

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Dr. Wilhelm Berghorn, Gründer und Geschäftsführer von Mandelbrot Asset Management, sagt: "Mit der monatlich erweiterten Fortsetzungsserie soll das Verständnis für die Umsetzung von Mandelbrots-Ansatz im Asset Management geweckt beziehungsweise gefördert werden." 
© Mandelbrot AM

Was die Moderne Portfolio-Theorie anbelangt, ist hier zum Beispiel die Grundlagenarbeit von Henry Markowitz (1952) zu nennen, der die moderne Portfolio-Theorie begründet hat. In dieser Arbeit nimmt er an, dass sich Investoren „rational“ verhalten, und man für eine Portfolio-Auswahl die (abgezinsten /diskontierten) zukünftigen Renditen zugrundelegen solle. Ein weiteres Standbein dieser Theorie ist das Korrelationsverhalten von Aktien untereinander. Ein einleuchtendes Beispiel hierbei sind Aktien von Sonnencreme- und Regenschirmherstellern, die sich - je nach Wetterlage (welche man mittelfristig nicht abschätzen kann) - unterschiedlich entwickeln werden. Besser man legt sich beide in das Depot, um sich von Umwelteinflüssen unabhängig zu machen - ein Grundmodell der Diversifikation.    

Ausgehend von der weiteren Annahme, dass sich die Renditeerwartung und das Korrelationsverhalten der Aktien im Zeitablauf nicht ändern (sogenannte Stationarität), lässt sich dann der „Effiziente Rand“ berechnen, d.h. zu einem vorgegebenen Risiko lassen sich all jene Portfolios bestimmen, die unter diesen Annahmen optimal sind. Markowitz schlägt in seiner Original-Arbeit vor, die Renditeerwartung und die Korrelationen von Aktien über eine Periode in der Vergangenheit („for some period of the past“) zu schätzen.

Schematische Darstellung des „Effizienten Randes“ bei der Markowitz-Optimierung
Ausgehend von einer Schätzung der künftigen Renditen sowie der Korrelationseigenschaften von Aktien zueinander lässt sich zu einem gegeben Risiko jeweils ein optimales Portfolio ermitteln, welches die maximale Rendite zum gegebenen Risiko erzielt. Ein Beispiel ist der orangenfarbene Punkt in der Grafik. Durch Mischung mit risikofreien Anlagen lassen sich dann beliebige weniger riskante Gesamtportfolios ableiten (Kapitalmarktlinie). Der "Effiziente Rand" ist in rot dargestellt.

Quelle: Mandelbrot AM

Offene Fragen
Aber welche Zeitperiode sollte man nehmen? Und was passiert mit Aktien, die anstelle von Gummistiefeln plötzlich Mobiltelefone bauen, wie dies bei Nokia der Fall war? Dass der sogenannte „Effiziente Rand“ alles andere als eine statische Angelegenheit ist, illustriert das folgende Beispiel. Für ein beliebiges Universum, hier aus 38 Aktien bestehend, wird monatlich im Zeitraum 2000 bis Ende 2019 der „Effiziente Rand“ anhand der vergangenen Rendite der letzten zwölf Monate sowie den Korrelationen der Aktien untereinander bestimmt. Auf den Achsen „Risk“ und „Positive/Negative-Return“ wird pro Monat ein „Effizienter Rand“ (der Rand der blauen Scheiben) dargestellt.

Quelle: Lenz & Partner, Visualisierung: Mandelbrot AM

Garbage-in, garbage-out...
Diese Problemstellung, dass die Rendite, aber auch - im geringeren Maße - die Korrelations-Schätzungen für Aktien vom Zeitpunkt der Schätzung und auch gleichzeitig vom zugrunde gelegten Zeitraum für die Schätzung abhängen, erschwert eine praktische Implementierung erheblich. In der Literatur wird dies unter dem „garbage-in, garbage-out“-Phänomen behandelt, das heißt, je schlechter die Schätzungen der zukünftigen Renditen sind, desto weniger optimal sind die berechneten Portfolios. Diese Abhängigkeit vom Zeitraum aber auch Zeitpunkt kann als Charakteristikum „fraktaler Märkte“ gedeutet werden. 

„Capital Asset Pricing Model“
Gleichwohl erlaubt die Arbeit von Markowitz die Einführung erster Gleichgewichtsmodelle für Aktienrenditen. Jack Treynor (1961, 1962), William F. Sharpe (1964) und John. Lintner (1965) aber auch Jan Mossin (1966) entwickeln unabhängig voneinander das sogenannte „Capital Asset Pricing Model“ (CAPM), in dem eine Grundannahme enthalten ist, dass Investoren homogen die Charakteristika von Aktien (Renditeerwartung sowie die Korrelation) vorliegen haben und gleichsam rational (anhand dieser Charakteristika) entlang ihrer Risikoneigung und der hierzu gehörigen optimalen Portfolios des „Effizienten Randes“ handeln.

Viele Restriktionen und unrealistische Annahmen
Sobald ineffiziente Portfolios gemessen werden, können diese  - verkürzt gesagt - durch effiziente (optimale) Portfolios getauscht werden - ein Gleichgewicht tritt ein. Diese effizienten (und riskanten) Portfolios können nun anhand der Risikoneigung des Investors mit dem risikolosen Zins verknüpft werden und es entsteht eine Kapitalmarktlinie, in welcher die Renditeerwartung des Investors maßgeblich von der Schwankung des effizienten Portfolios seiner Risikoneigung abhängt. Je mehr Risiko der Investor akzeptiert, desto höher ist seine Renditeerwartung (Risikoprämie). Dieser auf Annahmen beruhenden Sichtweise von homogenen Investoren schickt Sharpe 1964 eine Warnung hinterher: „Needless to say, these are highly restrictive and undoubtedly unrealistic assumptions.”...

Effiziente Märkte
Auf Basis dieser zwei klassischen Säulen lässt sich die Sichtweise effizienter Märkte (Fama 1970) begründen: Neue Nachrichten führen im Aggregat zu neuen Rendite- und Risikoewartungen bei den Investoren. Diese werden „effizient“ anhand der Sichtweisen oben verarbeitet und führen dann zur Unabhängigkeit von Aktienmarkt-Renditen.

Sind Renditen also unabhängig?
In einer Übersichtsarbeit von 1995 zitiert Fama auch kritische Arbeiten zu dieser Frage. Eine Arbeit aus dem Jahr 1963 von Granger setzt hierbei eine signaltheoretische Frequenz-Analyse ein und folgert, dass allenfalls im kurzfristigen Bereich Renditen unabhängig und im längerfristigen Bereich „nicht-zufällige“ Strukturen sichtbar sind. Gleichwohl kommt Fama 1995 zu dem Schluss, dass der kurzfristige Investor einem fairen Spiel ausgesetzt ist, da die Korrelationen von aufeinanderfolgenden Renditen extrem dicht bei Null liegen. Aus Sicht der klassischen Theorie lässt sich somit „Outperformance“ nur mit höheren Risiken erklären oder ist allenfalls eine temporäre „Anomalie“, die durch die Gleichgewichtsprozesse verschwinden sollte. Dies ist eine Sichtweise, die durch diverse Kritiken aus unterschiedlichen Richtungen herausgefordert werden wird und bei der sich schon andeutet, dass die Zeitskala zur Bewertung der Effekte eine wichtige Rolle einnehmen wird.

Doch davon nächstens mehr... (kb)

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