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1/2014 | Theorie & Praxis
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Optionspreise als Prognosetool

Dass Korrelationen unterschiedlicher Assetklassen über die Zeit schwanken, zählt zu den unerfreulichen Aspekten der Portfoliokonstruktion. Ein aktuelles Working Paper des Centre for Financial Research in Köln verfolgt einen alles andere als rückwärtsgewandten Ansatz.

Auf Initiative der Professoren Alexander Kempf und Axel A. Weber anno 2004 an der Universität zu Köln gegründet, hat sich das Centre for Financial ­Research (CFR) innerhalb weniger Jahre zu einem international wahrgenommenen Kom­petenzzentrum auf dem Gebiet der ­Finanzmarktforschung entwickelt. Die Forschungsschwerpunkte liegen dabei im Bereich Asset und Risikomanagement. Eines der jüngsten Ergebnisse dieser Anstrengungen wurde unter dem Titel „Forward-Looking Measures of ­Higher-Order Depen­den­-cies with an ­Application to Portfolio Selection“ publiziert. Die Autoren sind die CFR-Gründer Alexander Kempf und Olaf Korn sowie der Diplom-Mathematiker Felix Brinkmann, und ihr Ziel bestand dabei da­rin, das Risiko von Portfolios umfassender zu er­fassen, um dank einer verbesserten Port­foliooptimierung bessere Anlageergebnisse zu erzielen.
 
Komplexe Abhängigkeiten
Bekanntlich hängt das Risiko eines Portfolios wesentlich von den Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Portfoliobestand­teilen ab. Da die Renditen der allermeisten Assets nicht normalverteilt sind, reicht es zur Erfassung der Abhängigkeiten eben nicht, nur auf die klassische Korrelation zwischen den Renditen der Portfolio-Assets abzustellen. Es sind die Abhängigkeiten in den höheren Momenten der Verteilung wie Schiefe (Skewness) und Wölbung (Kur­tosis) die eine nicht zu unterschätzende Rolle spielen und den Portfoliokonstrukteuren das Leben schwer machen. „Solche Ab­hängigkeiten in höheren Verteilungsmo­menten sind schwierig zu messen. Zum ­einen gibt es viele davon – für ein Portfolio aus 30 ­Assets müsste man insgesamt 46.375 Parameter schätzen – und zum anderen verändern sich Abhängigkeiten im Zeitablauf, sodass aus Vergangenheitsdaten geschätzte Abhängigkeiten für die Zukunft möglicherweise keine Gültigkeit mehr besitzen“, resümiert Korn.
 
Neuartiger Ansatz
Das Autorentrio schlägt daher einen ­neuen Ansatz zur Schätzung der Abhängig­-keiten in höheren Momenten der Verteilung vor, der die Anzahl der zu schätzenden Parameter verringert und die Problematik des Einsatzes historischer Daten zur Schätzung der Abhängigkeiten von Schiefe und Kurtosis umgeht. Felix Brinkmann: „Wir reduzieren die Anzahl der zu schätzenden Abhängigkeitsparameter auf drei, nämlich die ­übliche Korrelation, die Schiefe-Korrelation und die Kurtosis-Korrelation. Diese Parameter schätzen wir dann nicht aus historischen Daten, sondern extrahieren diese ­Information aus den aktuellen ­Options­-­preisen.“ Da aktuelle Optionspreise die Erwartungen der Marktteilnehmer für die Zukunft widerspiegeln würden, sei dieser Schätzansatz in die Zukunft gerichtet und daher nicht vergangenheitsorientiert wie alle Ansätze, die es bisher gegeben habe, beschreibt Kempf den zukunftsweisenden Charakter der Arbeit.
 
Abhängigkeitsstrukturen zwischen Assets sind ein Schlüsselelement von vielen Problemen in der Finanzwirtschaft. Schon bei einem 30-Aktien-Portfolio müssen bei einen klassischen Mean-Variance-Ansatz 495 Parameter geschätzt werden – selbst wenn man die höheren Verteilungsmomente außen vor lässt. Will man höhere Momente der Verteilung integrieren, steigt die Anzahl der zu schätzenden Parameter exponentiell an. Diese hohe Anzahl an Schätzparametern ist nicht nur für die Rechnerkapazitäten eine Belastung, sondern führt zu einem massiven Schätzfehlerrisiko, da sich die Abhängig­keiten zwischen den Assets über die Zeit ändern. Bekannt ist etwa die Zunahme der Korrelationen, wenn der Markt südwärts läuft.
 
Kempf, Korn und Brinkmann gehen dieses Problem an, indem sie einen neuen Weg vorschlagen, Abhängigkeiten höherer Ordnung zwischen Assets zu schätzen. Um die Anzahl der Parameter zu reduzieren, die die Abhängigkeitsstruktur charakterisieren, folgen sie dem von Martellini und Ziemann im Jahr 2010 vorgestellten Ansatz und nehmen konstante Korrelationen an. Im Besonderen wird die Annahme getroffen, dass die Abhängigkeitsstruktur beschrieben werden kann, indem man die drei Korrelationskoeffizienten für Varianz, Schiefe und Kurtosis verwendet. Das impliziert, dass die Standard-Korrelationen, Schiefe- und Kurtosis-Korrelationen über alle Assets gleich sind. Anschließend – und dies ist der entscheidende Beitrag des Artikels – zeigen die ­Autoren, wie man diese Korrelationen aus Optionspreisen extrahieren kann. Da sich in den Preisen von Optionen die Erwartungen der Optionshändler widerspiegeln, erhalten sie Schätzungen über die vom Markt implizit erwarteten Korrelationen. Nachdem schon die Arbeit von Kempf, Korn und Saßnig aus 2011 „Portfolio Optimization Using Forward-Looking Information“ empirisch nachweisen konnte, dass implizite Schätzer für die Kovarianz-Matrix bessere Ergebnisse liefern als historische Schätzer, konnte man erwarten, dass implizite Schätzer einen vielversprechenden Weg zur Verbesserung der Qualität der Schätzer für die Abhängigkeitsstrukturen höherer Verteilungsmomente zwischen Assets darstellen. Wenn etwa die Schiefe-Korrelation zwischen zwei Assets A und B (Aktien) negativ ist und man einen negativen Schock bei ­Aktie B beobachten kann, dann wird sich die bedingte Varianz des Assets A erhöhen. Ähnlich dazu würde ein negativer Schock des Assets B zu einer niedrigeren bedingten Schiefe des Assets A führen, wenn die ­Kurtosis-Korrelation der beiden Assets positiv ist.
 
Nun schätzt man die drei Korrelationen mittels Optionen auf einzelne Aktien und der Aktienindexoption. Das Risiko des ­Aktienindex wird vom Risiko der Index­-bestandteile und den drei Korrelationen bestimmt. Letzte werden durch die Co-Moment-Matrizen, also der Kovarianz-, Co-Schiefe- und Co-Kurtosis-Matrix, ermittelt.
 
Sind Optionen auf den Index und auf alle Indexkomponenten vorhanden, kann man die Korrelationsstruktur unter Nutzung der in den Optionen enthaltenen Informationen schätzen. Man nimmt die impliziten Momente aus den Plain-Vanilla-Optionen, die auf den Index und die Indexmitgliedsaktien geschrieben werden, und verwendet die bekannten Indexgewichtungen. Mit der Schätzung der impliziten Korrelationsschätzer hat man im Kern auch das Problem der impliziten Schätzung der Co-Moment-Matrizen gelöst. Alle noch nötigen Parameter können aus den impliziten Momenten der indivi­duellen Aktienerträge gewonnen werden.
 
Drei wesentliche Beiträge
Die Wissenschaftler sind davon überzeugt, mit ihrer Arbeit drei wesentliche Beiträge geleistet zu haben. Da ist einmal die theoretische Seite, wo man implizite Abhängigkeitsmaßzahlen für Korrelationen einführt. Kempf: „Diese Korrelationen sind ­intuitiv verständlich. Unsere implizite Schiefe-Korrelation drückt die Markterwartungen aus, wie ein Schock in einem Asset die Volatilität der anderen Vermögenswerte beeinflussen wird. Und unsere implizite Kurtosis-Korrelation drückt die Markterwartung darüber aus, wie sich ein Schock in einem Asset auf die Schiefe der anderen Assets auswirkt.“ Diese Korrela­tionen sind das Schlüsselelement in der Konstruktion der impliziten Schätzer für Kovarianz-, Co-Schiefe- und Co-Kurtosis-Matrizen.
 
Zum zweiten liefert die Arbeit Hinweise auf die Charakteristika der impliziten Korrelationen im Zeitablauf und identifiziert Faktoren, die die Abhängigkeiten höherer Momente bestimmen. Professor Korn: „Wir analysieren, wie sich die Abhängigkeiten zwischen den Assets über die Zeit verändern und unter welchen Bedingungen die Abhängigkeiten besonders groß sind. Für Investoren besonders relevant ist die Erkenntnis, dass die verschiedenen Korrelationen selbst wieder voneinander abhängen. Wenn es beispielsweise eine schlechte Neuigkeit in einer Aktie gibt, dann gehen die erwarteten Renditen anderer Aktien zurück, gleichzeitig steigen aber auch deren Varianzen und ihre ­Verteilungen werden links-schiefer. Dies sind alles schlechte Nachrichten für die Investoren.“
 
Der dritte Beitrag der Arbeit ist für Anleger besonders relevant: Die Autoren zeigen im Rahmen einer empirischen Studie, dass ein Anleger durch die Verwendung der ­impliziten Abhängigkeiten in der Lage ist, bessere Portfolios zusammenzustellen.
 
Dynamik der Korrelationen
Die Grafik „Implizite Schätzer der Korrelationen“ illustriert, wie sich der implizite Schätzer der Korrelationen über die Zeit verändert. Wenig überraschend ist die Varianz-Korrelation immer positiv, geht doch ein negativer Schock in einer Aktie mit ­einer Kursreduktion in anderen Aktien einher. Im Schnitt liegt sie bei 0,45, steigt aber im Zuge der Finanzkrise auf 0,85 an. Dies steht im Einklang damit, dass Korrelationen steigen, wenn die Märkte fallen. Das Vorzeichen der Schiefe-Korrelation ist fast immer negativ, wie die Grafik ebenfalls zeigt. Dabei kann der Wert in der Spitze -0,49 erreichen. Dieses Resultat bedeutet, dass ein negativer Schock in einer Aktie mit einem Volatilitätsanstieg in anderen Aktien einhergeht. Was die impliziten Schätzer der Kurtosis-Korrelation anbelangt, so findet man ausnahmslos positive Werte. Die Werte sind fast so hoch wie jene des impliziten Schätzers für die Varianz-Korrelation und erreichen einen Maximalwert von 0,78. Dies lässt vermuten, dass ein negativer Schock in einer Aktie die Erträge anderer Aktien linksschiefer, das heißt anfälliger für einen Crash, macht.
Die Analyse zeigt klar, dass sich alle ­impliziten Abhängigkeiten im Zeitverlauf deutlich verändern. Dies lässt vermuten, dass es schwierig sein muss, aufgrund von historischen Zeitreihen nicht nur die Varianz-Korrelation, sondern auch die Schiefe- und Kurtosis-Korrelation zu schätzen. Zwischen 2004 und 2007 waren die Abhängigkeitsmaßzahlen relativ gering, von 2008 an relativ hoch. Dies ist eine Indikation für stärkere Ansteckungseffekte in der Finanzkrise. Ein Schock in einer Aktie beeinflusst die Momente anderer Aktien wesentlich stärker in Krisen als in ruhigen Zeiten.
 
Die Forscher konnten auch feststellen, dass sich die drei impliziten Abhängigkeitsmaßzahlen gemeinsam bewegen. Wenn die Varianz-Korrelation hoch ist, dann tendiert die Schiefe-Korrelation niedriger und erreicht einen höheren negativen Wert, und die Kurtosis-Korrelation tendiert zu einem höheren Wert. Die entsprechenden Korrelationen liegen bei -0,73 respektive 0,96. Brinkmann: „Das sind schlechte Nachrichten für Investoren, da ein negativer Schock in einer Aktie stark negative Auswirkungen auf andere Aktien hat. Deren erwartete Renditen sinken, die Volatilitäten steigen, und die Aktien werden linksschiefer. Damit wird die vielerorts hörbare Aussage untermauert, dass Diversifikationsvorteile dann, wenn sie besonders dringend benötigt werden, niedrig ausfallen.“ Das gilt demnach nicht nur für Momente zweiter Ordnung, sondern auch für höhere.
 
Determinanten der Korrelationen
Welche Faktoren die Korrelationskoeffizienten für Varianz, Schiefe und Wölbung bestimmen, zeigt eine Regressionsanalyse mit eben diesen dreien als abhängigen Variablen. Als erklärende Variablen werden das Marktrisiko, abgebildet über die Indexvarianz, und die Indexschiefe, die das Crash-Risiko im Markt widerspiegelt, gewählt. Dazu kommen noch das Sentiment der Privatinvestoren sowie die Erklärungsgüte des Carhart-Modells für Aktienrenditen. Die dahinterstehende Überlegung ist, dass man eine höhere Korrelation erwarten kann, wenn die Stimmung der Anleger schlecht ist und wenn die Aktienrenditen in einem höheren Maß von den Faktoren des Carhart-Modells abhängen. Dann kontrolliert man auch noch im Hinblick auf die Auswirkungen des allgemeinen makroökonomischen Ausblicks, der sich in den US-Frühindikatoren widerspiegelt, und für die zeitverzögerten Korrelationen, da man davon ausgeht, dass Investoren ihre Erwartungen über die Ertragsabhängigkeiten nur graduell ändern. Die Tabelle „Determinanten der Korrelationen“ zeigt die Ergebnisse der Regressionsanalysen. Hier kann man feststellen, dass die Varianz-Korrelation steigt, wenn das Marktrisiko zunimmt. Der positive Koeffizient für die Indexvarianz bedeutet, dass die Korrelation steigt, wenn der Markt volatiler wird, und der negative Koef­fizient für die Indexschiefe signalisiert, dass die Korrelation am Aktienmarkt steigt, wenn die Verteilung der Marktrenditen linksschiefer wird. Somit haben beide Kenngrößen, die Indexvarianz als Abbildung des allgemeinen Marktrisikos und die Indexschiefe als Proxy für das Crash-Risiko, einen signifikanten Einfluss auf die ­Varianz-Korrelation. Zusätzlich stellt man eine signifikant negative Auswirkung der Dummy-Variablen für Marktverluste fest, was bedeutet, dass die Korrelation steigt, wenn der Markt fällt. Das steht im Einklang mit der Ansicht, dass der Markttrend einen zusätzlichen Einfluss aufweist, selbst wenn man das Marktrisiko kontrolliert. Der hoch signifikante und negative Koeffizient des Investorensentiments gibt einen Hinweis darauf, dass die Varianz-Korrelation steigt, wenn sich das Sentiment verschlechtert. Das lässt vermuten, dass Investoren bei ­einer Verschlechterung der Marktstimmung verschiedene Aktien sehr ähnlich behandeln.
 
Die Ergebnisse erlauben auch Rückschlüsse darauf, dass es einen großen Unterschied macht, ob die Aktienerträge hauptsächlich durch Marktfaktoren oder durch idiosynkratische Faktoren erklärt werden. Je wichtiger die Marktfaktoren, desto höher ist die Korrelation zwischen den Aktien. Man stellte weiters fest, dass die von den Marktteilnehmern erwarteten Korrelationen davon abhängen, was die Marktteilnehmer vom künftigen Wirtschaftswachstum erwarten. Je schlechter die Wachstumsaussichten, desto höher die impliziten Korrelationen. Der signi­fikant positive Koeffizient der zeitverzögerten Korrelation lässt vermuten, dass die Korrelationserwartungen der Marktteilnehmer eher träge reagieren und damit zu einem gewissen Teil persistent sind.
 
Geht man zur Betrachtung der Korrelationen höherer Ordnung über, so hängt die Kurtosis-Korrelation von den erklärenden Variablen in der gleichen Art und Weise ab wie die Varianz-Korrelation. Sieht man sich den Erklärungswert der Variablen für die Schiefe-Korrelation näher an, so hängt diese ebenso vom Marktrisiko ab. Das Vorzeichen des Koeffizienten lässt erwarten, dass ein Anstieg des Marktrisikos – der Index wird dann volatiler und linksschiefer – die Schiefe-Korrelation negativer werden lässt. Jedoch gibt es nur einen signifikanten Beitrag des Crash-Risikos, während das allgemeine Marktrisiko mit einem p-Wert von 0,17 ­Signifikanz vermissen lässt. Neben dem Marktrisiko fällt noch die Wichtigkeit der Auswirkung der allgemeinen Faktoren zur Erklärung der Aktienrenditen auf die ­Schiefe-Korrelation auf: Die Schiefe-Korrelation wird umso negativer, je wich­tiger der Erklärungswert der allgemeinen Faktoren für die Erklärung der Aktienren­diten ist. Weiter gilt etwa, je schlechter der Ausblick, desto negativer fällt die Schiefe-Korrelation aus.
 
Generell kann man festhalten, dass Standard-Korrelation und Korrelationen höherer Ordnung gut durch die erklärenden Variablen be­­stimmt werden. Dies zeigt der relativ hohe Wert des Bestimmtheitsmaßes R² an, das in allen Regres­sions­rechnungen einen ähnlich hohen Wert annimmt. Gleichgültig ­welche impliziten Korrelationen man betrachtet, ist der Einfluss der Kontroll­variablen für den wirtschaftlichen Ausblick und die zeitverzögerte Korrelation jedenfalls signifikant. Betrachtet man die Schiefe-Korrelation, dann fällt auf, dass dort nur ein Teil der erklärenden Variablen wie Marktrisiko und die Marktfaktoren signi­fikante Resultate produziert, während ein Marktabschwung oder das Investoren­sentiment keinen signifikanten Einfluss aufweisen.
 
Um diesen Unterschied zu verstehen, muss man berücksichtigen, dass Varianz- und Kurtosis-Korrelation die gleiche direktionale Information über künftige Erträge anbieten, während die Schiefe-Korrelation nur Information über die Variabilität künf­tiger Aktienrenditen liefert.
 
Nutzen der Korrelationen für Investoren
Im dritten Teil der Arbeit zeigen die Autoren schließlich, dass der implizite Schätzer der Co-Moment-Matrizen höherer Ordnung für Investoren von Wert ist. In einem Beispiel mit amerikanischen Blue-Chip-Aktien, den 30 Titeln des Dow Jones Indus­trial Average (DJIA), wird der implizite Schätzer in einer Handelsstrategie verwendet. Untersucht wurde der Zeitraum zwischen Januar 1998 und Januar 2012. Dazu verwendete man die Preise der europäischen Aktien­optionen und des DJIA, wobei man alle verfügbaren Basispreise der Out-of-the-money-Kauf- und Verkaufsoptionen auswählte.
 
Die Handelsstrategie auf Basis der impliziten Schätzer ist verschiedenen anderen, die auf historischen Schätzern beruhen, überlegen. Insgesamt wurden fünf verschiedene, auf historischen Schätzern aufbauende Handelsstrategien untersucht. Dabei handelt es sich um eine Strategie auf Basis einer Stichprobenschätzung, eine Strategie auf Basis der Annahme konstanter Korrelationen, eine Strategie auf Basis der Annahme eines Faktormodells, zwei Strategien auf Basis Bayesianischer Modelle. Im ersten Bayesianischen Modell wurden als Prior konstante Korrelationen gewählt und im zweiten Modell als Prior Korrelationen aus einem Faktormodell. Die relative Risikoaversion des Investors ɣ liegt bei 10, und die historischen Schätzer wurden aufgrund von Zeitfenstern, die 60 respektive 120 Monate betrugen, durchgeführt. Die Ergebnisse sind in der ­Tabelle „Monetärer Nutzengewinn“ zu­sam-mengefasst. Daraus kann man ersehen, dass die Nutzengewinne in allen Fällen positiv sind, gleich welches Zeitfenster man dabei verwendet, und sich in einer Bandbreite zwischen 2,4 und 4,8 Prozent pro Jahr bewegen. Dies bedeutet, dass die Investoren bereit ­wären, historische anstelle des impliziten Schätzers zu verwenden, wenn sie dafür mit Geld entschädigt würden, wobei diese Kompensation eben den genannten Prozentsätzen entspräche. Dies seien beachtliche Größenordnungen, merkt Professor Kempf an, betrage doch der jährliche Durchschnittsertrag der Benchmarks nur sechs bis sieben Prozent. Der Nutzengewinn aus impliziten Schätzern sei somit beträchtlich.
 
Risikoaverse profitieren besonders
Daneben zeigen die Autoren, dass ein ­Investor von den neuen Schätzern besonders dann profitiert, wenn er sehr risikoscheu ist. Auch spielen die im­pliziten Schätzer ihre Stärken gerade in turbulenten Marktphasen aus, die Nutzengewinne fallen am höchsten in der Zeit der ­Finanzkrise aus. Dies sei unmittelbar einleuchtend, da Krisenzeiten durch viele neue Nachrichten gekennzeichnet seien, sodass man aus der Vergangenheit wenig über die Zukunft lernen könne, so die beiden Professoren unisono. Insgesamt kann der monetäre Nutzengewinn bei bis zu sieben Prozent pro Jahr liegen.
 
In einem nächsten Schritt verglichen die Kapitalmarktforscher die implizite Strategie der Schätzerermittlung mit verschiedenen Strategien, die auf partielle implizite Schätzer abstellen, um zu analysieren, wie viel des monetären Nutzengewinns daher rührt, dass man die optionsimplizite Information für die Schätzung der Co-Schiefe- und Co-Kurtosis-Matrizen nutzt. Diese partiellen Strategien nutzen die impliziten Schätzer für die Kovarianz-Matrix, für die Schätzer der Matrix der höheren Co-Momente (Schiefe und Wölbung) die historischen Schätzer. Dabei sind die historischen Schätzer die gleichen wie zuvor. Die Ergebnisse zeigen wieder durch die Bank positive Werte, diese fallen allerdings wesentlich geringer aus. Die erforderliche von Investoren geforderte Kompensation liegt hier zwischen 0,4 und 1,2 Prozent pro Jahr dafür, dass sie historische anstatt impliziter Schätzer für die höheren Momente und Co-Momente akzeptieren (siehe Tabelle „Partielle implizite Schätzer erfordern Kompensa­tion“). Dies bedeutet, dass es für einen Anleger zwar besonders wichtig ist, implizite Schätzer für die Kovarianz-Matrix zu verwenden, dass aber gleichzeitig auch die implizite Schätzung höherer Momente ein wichtiger zusätzlicher Schritt ist.
 
Eine weitere Unterscheidung in der Verwendung historischer und impliziter Schätzer ist die Zusammensetzung des Aktienportfolios. Denn bei Anwendung des impliziten Schätzers entsteht ein konzentriertes Portfolio, das aus weniger Aktien besteht, konkret aus ungefähr neun, während bei Anwendung historischer Schätzer 11 bis 13 Titel selektiert werden. Auch fällt der Gini-Konzentrationskoeffizient bei der impliziten Variante höher aus (siehe Tabelle „Merkmale der Portfoliokonzentration bei unterschiedlichen Schätzern“).
 
Die Idee, aus aktuellen Optionspreisen Verteilungsparameter von Aktienrenditen zu schätzen, nutzt Olaf Korn in einem weiteren CFR Working Paper, um Beta-Koeffizienten einzelner Aktien herzuleiten. Zusammen mit seinen Koautoren zeigt er darin, dass diejenigen Beta-Schätzer, die die impliziten Varianzen verwenden, empirisch besonders gut abschneiden. Der Informationsgehalt dieser innovativen Schätzer ist zudem umso höher, je stärker die Handelsaktivität an den Optionsmärkten ausgeprägt ist.
 
Nächste Aufgabe ante portas
Dieser mathematische Ansatz, den Informationsgehalt von Optionspreisen für die Ermittlung von Schätzern zur Modellierung der Abhängigkeiten von höheren Verteilungsmomenten zu nutzen, ist anspruchsvoll und wird wohl noch einige Zeit benötigen, um in der Praxis breitflächig anzukommen. Die Ergebnisse sind jedoch sehr ermutigend. Die Professoren Kempf und Korn denken aber schon weiter: „Eine große Aufgabe für künftiges Research wird die Risikoadjustierung der optionsimpliziten höheren Momente sein, denn die in dieser Arbeit verwendeten höheren Verteilungsmomente werden in einem risikoneutralen Zustand genutzt, während die meisten Anwendungen Momente in einer realen Messgröße erfordern. Wenn angemessene Risikoadjustierungen verfügbar sind, sind weitere Verbesserungen in der Einschätzung der Abhängigkeiten höherer Ordnung wahrscheinlich.“ Leider sei solch eine Risikoadjustierung schwierig, da sehr wenig über Risikoprämien für Co-Momente höherer Ordnung bekannt sei, so Kempf weiter. Aber immerhin würden die impliziten Schätzer der Co-Momente, wie man sie gemeinsam entwickelt habe, einen Weg anbieten, um solche Risikoprämien empirisch zu untersuchen.

Alle impliziten Abhängigkeiten verändern sich im Zeitverlauf signifikant. Vermutlich ist es daher schwierig, aufgrund von historischen Zeitreihen nicht nur die Standard-Korrelation, sondern auch die Schiefe- und Kurtosis-Korrelation zu schätzen. Wenn die Varianz-Korrelation hoch ist, dann tendiert die Schiefe-Korrelation niedriger und erreicht einen höheren negativen Wert, und die Kurtosis-Korrelation tendiert zu einem höheren Wert. Zwischen 2004 und 2007 waren die Abhängigkeitsmaßzahlen relativ gering, von 2008 an relativ hoch. Dies ist eine Indikation für stärkere Ansteckungseffekte in der Finanzkrise. Quelle: Studie Seite 30

Das Marktrisiko wird über Indexvarianz und Indexschiefe abgebildet. Neben anderen Variablen erklären sie die Korrelationen der Aktienrenditen. Der positive Koeffizient für die Indexvarianz bedeutet, dass die Korrelation steigt, wenn der Markt volatiler wird, der negative Koeffizient für die Indexschiefe signalisiert, dass die Korrelation am Aktienmarkt steigt, wenn die Verteilung der Marktrenditen linksschiefer wird. Der hoch signifikante und negative Koeffizient des Investorensentiments gibt einen Hinweis darauf, dass die Korrelation steigt, wenn sich das Sentiment verschlechtert. Quelle: studie

Prozentsätze geben den monetären Nutzengewinn einer Investmentstrategie an, die implizite Schätzer gegenüber historischen Schätzern in den genannten fünf Modellen einsetzt. Diese Prozentsätze würden Investoren dafür verlangen, dass sie historische anstelle impliziter Schätzer einsetzen. Die relative Risikoaversion des Investors liegt bei ɣ=10. Der Out-of-Sample-Analysezeitraum reicht von Februar 1998 bis 2012. Quelle: studie

Die von Investoren geforderte Kompensation liegt hier zwischen 0,4 und 1,2 Prozent pro Jahr dafür, dass sie historische anstatt partieller impliziter Schätzer für die höheren Momente und Co-Momente akzeptieren. Bei Verwendung historischer Schätzer gibt es keine Anpassung an Regimewechsel, bei impliziten Schätzern schon. Die relative Risikoaversion des Investors liegt bei ɣ=10. Der Out-of-Sample-Analysezeitraum ist ident. Quelle: studie

Ein auf implizite Schätzer der Verteilungsmomente beruhendes US-Aktien-Portfolio, das aus den 30 Dow-Jones-Titeln gebildet werden kann, besteht aus weniger Aktien und ist konzentrierter, wie der etwas höhere Gini-Konzentrationskoeffizient anzeigt. Quelle: studie

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