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Theorie & Praxis

2/2020 | Theorie & Praxis
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Best of Two: Preisfrage geklärt

Die Best-of-Two-Strategie, mit deren Hilfe man quasi „rückwirkend“ in das bessere von zwei Assets ­investiert, erfreut sich nach dem jüngsten Crash größerer Aufmerksamkeit. Aber auch hier gilt es auf die ­Kosten zu achten.

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Längerfristige Analysen der dichtl research & consulting  GmbH zeigen, dass eine Modifikation der Best-of-Two-Strategie unter besonderer Berücksichtigung einzelner Kostenbestandteile bei etwa gleichem Risiko tendenziell eine Renditesteigerung von bis zu 1,5 Prozent pro Jahr bringen kann.

© DICHTL RESEARCH, OLIVIER LE MOA L | S TOCK.ADOBE
Die originäre Best-of-Two-Strategie, wie sie 2002 in dem Artikel „Aktien oder Renten? Die Best of Two-Strategie“ in „die bank“ erstmals von Hubert Dichtl und Christian Schlenger, damals ­beide Partner beim Beratungsunternehmen Alpha Portfolio Advisors, vorgestellt wurde, basiert auf der Austauschoption des US-Finanzmarktforschers William Margrabe. Dieser hatte schon im Jahr 1978 im „Journal of Finance“ einen Beitrag mit dem Titel „The Value of an Option to Exchange One Asset for Another“ publiziert. Mit seiner Optionspreisformel lässt sich der Preis der Austauschoption exakt berechnen (siehe Kasten). 
 
Drei Kostenfaktoren
 
„Bei Diskussionen rund um die Best-of- Two-Strategie bleibt die Frage nach den Strategiekosten zumeist nicht aus“, weiß der nunmehrige Privatdozent Dichtl, heute Geschäftsführer der dichtl research & consulting GmbH mit Sitz in Bad Soden am Taunus. „Die Antworten, die man dabei zu ­hören bekommt, sind häufig sehr vage und zuweilen sogar falsch.“ Gemeinsam mit Wolfgang Drobetz, Inhaber des Lehrstuhls für Unternehmensfinanzierung an der Universität Hamburg, machte er sich daran, Licht ins Dunkel zu bringen. Die beiden können zeigen, dass die Kosten der Best-of-Two-Strategie exakt ermittelt werden können. Eine genaue Betrachtung zeigt, dass sich die ­Kosten der Best-of-Two-Strategie in drei Komponenten aufteilen lassen: die „echten“ Optionskosten, die Kosten der Optionsreplizierung und die Transaktionskosten.
 
Auch wenn sich der Optionspreis (siehe Kasten) exakt berechnen lässt, so werden Austauschoptionen nicht am standardisierten Optionsmarkt gehandelt. Um dieses Problem zu lösen, wird die Option im Rahmen der Best-of-Two-Strategie synthetisch repliziert. Durch einfache Umformungen der Optionspreisformel lässt sich analytisch genau bestimmen, in welchem Verhältnis die beiden Märkte gehalten werden müssen, damit das Basisportfolio, bestehend aus dem gekauften Markt und der Austausch­option, exakt repliziert werden kann. Die dabei ermittelten Quoten sind stets positiv und addieren sich immer exakt zu 100 Prozent, das heißt, es gibt keine Leerverkäufe und keinen Leverage. Die Replizierung wird häufig zu bestimmten äquidistanten Zeitpunkten, zum Beispiel einmal monatlich, durchgeführt. Berechnet man die Differenz zwischen der Performance der reinen Optionsumsetzung und jener der Replika­tionsstrategie unter Vernachlässigung der dabei anfallenden Transaktionskosten für die Umschichtungen am Aktien- und Rentenmarkt, also die Brutto-Performance, so lassen sich daraus die Replizierungskosten ablesen. Diese stellen die zweite Kosten­ebene der Best-of-Two-Strategie dar. „Entscheidend ist, dass diese Replizierungskos­ten auch negativ sein können, das heißt, es kann sich auch ein Replizierungsertrag ergeben. Dies ist tendenziell dann der Fall, wenn sich die Vorteilhaftigkeit der besser rentierenden Anlage kontinuierlich über die Zeit aufbaut. Wechselt hingegen im Zeit­ablauf häufig die relative Vorteilhaftigkeit der beiden Anlagen, so ist dies ungünstig für die Strategie, und es ergeben sich zusätzliche Replizierungskosten“, weiß Dr. Dichtl. 
 
Pfadabhängigkeit
 
Da bei der Optionsreplikation die endgültige Performance nicht nur von den Endständen der beiden Anlageklassen abhängt, sondern auch von deren zwischenzeitlichen Kursverläufen, spricht man auch von einer pfadabhängigen Strategie. Wäre hingegen die Austauschoption real erhältlich, würde es sich um eine pfadunabhängige Strategie handeln, weil hierbei die Performance nicht von zwischenzeitlichen Kursentwicklungen abhängig ist, sondern ausschließlich von den ­finalen Kursständen der beiden ­Anlagen. 
Die dritte Kostenebene der Best-of-Two-Strategie entsteht dadurch, dass bei den Umschichtungen in den Basisanlagen im Rahmen der Optionsreplikation Transaktionskos­ten anfallen. Diese entsprechen der Differenz von Brutto- und Nettorendite.
 
Kostenanalyse 
 
Anhand eines Beispiels lässt sich eine Kostenanalyse vornehmen: Als Aktienmarkt dient dabei der Stoxx Europe 600 Net Return und als Rentenmarkt der RexP 3 Jahre. Die Schätzung der Spreadvolatilität basiert jeweils auf den vorangehenden 60 Monatsrenditen. In der Tabelle „20-Jahres-Analyse“ ist in der ersten Zeile die Jahresrendite der jeweils besser gelaufenen Anlageklasse angeführt und in der darunter liegenden jene Rendite, die sich bei einer rein options­basierten Umsetzung der Strategie ergeben hätte – also beim Kauf der Austauschoption zu Jahresbeginn. Die Renditedifferenzen ­repräsentieren die „echten“ Optionskosten.
 
Auf den ersten Blick erscheinen diese „echten“ Optionskosten von durchschnittlich 7,33 Prozent sehr hoch. Professor ­Drobetz dazu: „Hierbei muss jedoch berücksichtigt werden, dass die Rendite der besseren Anlage – zumindest ohne Kristallkugel – so leider nicht zu vereinnahmen war. In vielen Jahren waren Aktien erwartungsgemäß die überlegene Anlageklasse, aber in einigen Jahren war die Bondrendite höher als die Aktienrendite.“ So hat der Stoxx Europe 600 NR Index während der Dotcom-Blase 53,10 Prozent an Wert ver­loren, und während der Finanzmarktkrise 2008/2009 bezifferte sich der Wertverlust gar auf ein Minus von 54,34 Prozent. Dies ­führte dazu, dass die Wertentwicklung des Stoxx Europe 600 von Januar 2000 bis ­Dezember 2019 gerade einmal 3,17 Prozent pro Jahr beträgt.
 
Monatsweise Replikation
 
In der Tabelle „Replizierungskosten“ sind den Renditen einer optionsbasierten Umsetzung jene Renditen gegenübergestellt, die sich ergeben, wenn die Option im Rahmen der Replikationsstrategie einmal pro Monat (auf Basis der Monatsschlusskurse) nachgebildet wird. Transaktionskosten sind dabei noch nicht berücksichtigt, es handelt sich ­also um die Bruttorenditen. Diese Renditedifferenzen lassen sich als Replizierungs­kosten – oder auch Replizierungserträge – interpretieren.
 
Wie aus der Tabelle ersichtlich wird, können die Werte für die Replizierungskosten positiv oder auch negativ sein. Je nach zwischenzeitlicher Entwicklung der Kursverläufe können sich entweder positive Replizierungskosten ergeben oder aber auch ­negative, also Replizierungserträge. In diesem Phänomen spiegelt sich die Pfadab­hängigkeit der Optionsreplikationsstrategie wider. Betrachtet man den Gesamtzeitraum, so ergibt sich tatsächlich ein nicht unerheblicher Replizierungsertrag von zirka 1,18 Prozent pro Jahr, was im Wesentlichen auf das positive Trendverhalten der Märkte zurückzuführen ist.
 
Delta-Replikation
 
Eine Optionsreplizierungsstrategie wird auch als „Delta Replication“ bezeichnet. Das Options-Delta misst die Reaktion des Optionswerts auf eine marginale Preisbewegung des Basiswerts (beispielsweise des Aktienmarktes) und kann aus der Optionspreisformel abgeleitet werden. Das Delta quantifiziert somit den Betrag an Aktien­anteilen der ge- beziehungsweise verkauft werden muss, um die Option mit der jeweils zugrunde liegenden Anlage zu replizieren. Aus der Options-Replizierungsformel ist ersichtlich, dass die Aktienmarkt­alloka­tion mit zunehmendem Wert des Aktienmarktes steigt. Die Grafik „Prozyklik“ zeigt diesen Effekt für das obige Zahlenbeispiel. Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass die Sensitivität mit einer abnehmenden Restlaufzeit ansteigt.
 
In einem nächsten Schritt werden Transaktionskosten für die monatlichen Umschichtungen berücksichtigt, und zwar 20 Basispunkte für die umschichtungsabhängigen Transaktionskosten bei Aktien und fünf Basispunkte bei Renten. Die Differenz zwischen der Brutto- und der Nettorendite zeigt dann die eigentlichen Transaktionskosten der Strategie (siehe gleichnamige Tabelle). Wie die Renditedifferenzen zeigen, sind die reinen Transaktionskosten bei einer monatlichen Replizierungsfrequenz sehr niedrig, insbesondere im Vergleich zu den eigentlichen Optionskosten. Diese fiele sogar noch niedriger aus, wenn in der Kasse die 50 : 50- Allokation von Aktion und Renten das ­ganze Jahr über verbliebe und die Quotensteuerung mithilfe von Futures durchgeführt würde. 
 
Besser Tuning
 
Die jüngste Analyse der dichtl research & consulting GmbH ­fokussierte auf zwei bekannte Schwachpunkte der klassischen Best-of-Two-Strategie: erstens die unzureichende zeitliche Diversi­fikation der Strategie und zweitens die starke Pfadabhängigkeit. Die Best-of-Two-Strategie reagiert bei einer noch langen Restlaufzeit sehr träge (siehe Grafik „Prozyklik“), was bedeutet, dass sich die Strategie nur allmählich von der neutralen 50 : 50-Ausgangsallokation entfernt. Dies führt dazu, dass bei einer jährlichen Steuerung der Strategie der Erfolg aufgrund des ansteigenden Deltas häufig sehr stark von den letzten Monaten des Jahres abhängt, was zu einer unbefriedigenden zeitlichen Diversifikation führt. Das Problem der ­hohen Pfadabhängigkeit der originären Best-of-Two-Strategie ist evident. „Wie längerfristige Analysen zeigen, führt eine Modi­fikation der Originalstrategie unter ­Berücksichtigung dieser beiden Aspekte bei etwa gleichem Risiko tendenziell zu einer Renditesteigerung von zirka 1,0 bis 1,5 Prozent pro Jahr“, sagt Dichtl, ohne Details verraten zu wollen. 
 
In dem gezeigten Beispiel mit den ­Märkten Stoxx Europe 600 und dem RexP 3 Jahre steigert sich beispielsweise im Zeitraum von Januar 2000 bis Dezember 2019 die Nettorendite von 5,72 auf 7,27 Prozent pro Jahr.
 
Dominierender Kostenanteil 
 
Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass Dichtl und Drobetz stringent zwischen „echten“ Optionskosten, Replizierungskos­ten und Transaktionskosten unterscheiden und Transparenz in die Kostenfrage bringen. Es zeigt sich, dass die eigentlichen ­Optionskosten die dominierende Kostenkomponente sind. Dies gilt insbesondere im Vergleich zu den Transaktionskosten, die bei einer monatlichen Replikation im All­gemeinen sehr gering ausfallen. Darüber hinaus ist es nicht unüblich, dass man einen positiven Replizierungsertrag beobachten kann. Die hier gezeigten Werte sind zwar abhängig vom gewählten Analyserahmen, weitgehend ähnliche Ergebnisse lassen sich aber auch mit anderen Aktien- und Bondmärkten beobachten, was Dichtl und Drobetz selbstverständlich getan haben. Die somit geklärte Kostenfrage sollte jedenfalls keinen Investor davon abhalten, einer Umsetzung von Best of Two mithilfe der ­monatlichen Replikation der Austauschoption näherzutreten – ganz im Gegenteil: Dichtls „Fine­tuning“ verspricht einen netten Zusatzertrag.
 
Dr. Kurt Becker

Best of Two – die Theorie

Die Mathematik des Konzepts

Als Ausgangsbasis betrachtet man zwei risikobehaftete Anlagen A und B – zum Beispiel den Aktien- und den Bondmarkt. Der Investor möchte am Ende des Anlagehorizonts – beispielsweise ein Jahr – die Rendite des besser gelaufenen Marktes vereinnahmen, ohne dabei im Voraus zu wissen, welcher der beiden Märkte die bessere Rendite abwerfen wird. Hierzu erwirbt er einen Markt – etwa den Bondmarkt – und eine Austauschoption, die ihn berechtigt, am Jahresende den Bondmarkt gegen den Aktienmarkt zu tauschen. Dies wird der Investor nur dann tun, wenn der Aktienmarkt besser performt hat als der Bondmarkt. Ist dies nicht der Fall, dann hat der Investor mit dem Bondmarkt bereits den besseren Markt, er wird die Austauschoption daher verfallen lassen. Da man unter realistischen Annahmen die Option ausschließlich am Ende des Anlagehorizonts (zum Beispiel ein Jahr) ausüben wird, handelt es sich hierbei um den klassischen Fall einer europäischen Option.

Bestimmung der „echten“ Optionskosten

Der Preis der Austauschoption C(t) lässt sich mithilfe der Formel von Margrabe (1978) zum aktuellen Betrachtungszeitpunkt t wie folgt bestimmen: mit: A(t) und B(t) sind die Marktwerte der beiden Anlagen zum Zeitpunkt t. N(d1) und N(d2) repräsentieren die Werte der kumulierten Normalverteilung an den Stellen d1 und d2. σA–B ist die sogenannte Spreadvolatilität. Diese lässt sich berechnen aus der Volatilität der Anlage A (σA), der Volatilität der Anlage B (σB) sowie der Korrelation zwischen beiden Anlagen (ρA,B). Das folgende Zahlenbeispiel zeigt die Berechnung des Werts einer Austauschoption (siehe „Zahlenbeispiel 1“):

In diesem Zahlenbeispiel sei weiter unterstellt, dass Aktien am Jahresende eine Rendite von 25 % aufweisen (A(T) = 125) und Bonds mit 5 % rentieren (B(T) = 105). Aufgrund der Optionskosten von 4,17 Euro hätte man allerdings keine 100 % investieren können, sondern nur (100/104,17) 96 %. In diesem Fall einer reinen Optionsumsetzung hätte sich dann eine Rendite von 20 % (also 96 * (1+0,25)) ergeben.

Sensitivitätsanalysen

Auf Basis des vorangegangenen Zahlenbeispiels kann man einige Szenarioanalysen durchführen (siehe „Zahlenbeispiel 2“).

Im Vergleich zum Basisszenario (0) wird im Szenario 1 die Restlaufzeit der Option von einem Jahr auf ein halbes Jahr reduziert. Mit dieser kürzeren Restlaufzeit fällt der Wert der Option von 4,17 auf 2,95, da beide Anlagen nach wie vor den gleichen Marktwert von 100 aufweisen (Theta der Option). Verfügen beide Anlagen am Fälligkeitstermin der Option über den gleichen Wert, so ist der Wert einer Option, die zum Austausch des einen Assets gegen das andere berechtigt, nahe liegenderweise null. Bei identischen Werten der beiden Assets sinkt somit der Optionswert mit abnehmender Restlaufzeit. Sollte hingegen der Wert der  Austauschanlage A zum gleichen Zeitpunkt bei 120 liegen (Szenario 2), dann steigt der Wert der Option von 4,17 auf 20,02 (Delta der Option). Die Option, die Basisanlage B mit einem Wert von 100 gegen die Anlage A mit einem Wert von 120 zu tauschen, wird somit wertvoller. Sollte das Gegenteil der Fall sein – Anlage B ist mit einem Wert von 120 wertvoller (Szenario 3) –, dann notiert die Austauschoption bei einem Wert von 0,02. Je höher die Spreadvolatilität ist, desto höher ist auch der Wert der Austauschoption (Vega der Option). Wenn z. B. die Spreadvolatilität von 10,46 % (Szenario 0) auf 25 % (Szenario 4) steigt, dann erhöht sich der Optionswert von 4,17 auf 9,95. Je höher die Spreadvolatilität, desto höher ist der Wert der Austauschoption.


Anhang:

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