Alles andere als eindimensional

Was verursacht den Absturz einer Aktie? Auf diese Frage gibt es viele Antworten. Und zum Teil treffen im Einzelfall gleichzeitig auch mehrere zu, das macht die Risikoeinschätzung schwierig. Kapitalmarktforscher sind dem Problem seit Jahren auf der Spur, konzentrieren sich bei der Suche aber meist entweder auf die Gefahr, die vom Unternehmen selbst ausgeht, oder das Crash-Risiko, das sich aus der Abhängigkeit vom Gesamtmarktverhalten ergibt – die Analysen reichen vom Downside-Beta über das Tail-Beta bis zum Bear-Beta. Es ist ein wenig so, als ob der Lawinenwarndienst nur auf die Temperatur oder die Luftfeuchtigkeit achten würde, um die Gefahr abgehender Schneebretter zu ­ermitteln. In der Praxis wäre das fahrlässig, denn es ist fast immer eine Kombination mehrerer Parameter, die Skitourengeher in Lebensgefahr bringt.

Fousseni Chabi-Yo, Associate Professor of Finance an der Isenberg School of Management der University of Massachusetts in Amherst, Markus Huggenberger, Habilitand an der Universität Mannheim, Fakultät für Betriebswirtschaftslehre, und Florian Weigert, Professor für Financial Risk Management an der Universität von Neuchâtel in der Schweiz, haben es sich daher zur Aufgabe gemacht, die Sensitivität von Aktien gegenüber Markt-Crashs und extremen Abwärtsrealisierungen zusätzlicher Risikofaktoren zu untersucht. Es ging darum, die Beziehung zwischen dem multivariaten Crash-Risiko und den durchschnittlichen zukünftigen Aktienrenditen zu zeigen.

Seit der bahnbrechenden Arbeit von Fama und French „Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds“ von 1993 ist allgemein anerkannt, dass der stochastische Diskontierungsfaktor (SDF) nicht allein durch den Markt erklärt werden kann, sondern von zusätzlichen nicht marktbezogenen Risikofaktoren abhängt. Dennoch verwenden die in der Literatur vorgeschlagenen bivariaten Maße für das Crash-Risiko ausschließlich den Marktfaktor, um das nichtlineare Exposure einer Aktie gegenüber ungünstigen Szenarien zu quantifizieren. Konstruktionsbedingt vernachlässigen solche marktbasierten Maße das Tail-Risiko, das durch extreme Ausprägungen anderer Faktoren verursacht wird, und sie erfassen nur teilweise das Risiko extremer Zustände, die durch ­gemeinsame Tail-Ereignisse mehrerer Faktoren verursacht werden. Wenn solche Left-Tail-Realisierungen von Nicht-Markt-Faktoren für das Vermögen eines repräsentativen Investors wichtig sind, dann sollte das Exposure eines Vermögenswerts gegenüber diesen Crash-Ereignissen dazu beitragen, die erwarteten Aktienrenditen zu erklären.

Neues Risikomaß MCRASH
Um die Sensitivität einer Aktie gegenüber Crash-Ereignissen für eine Reihe von Faktoren zu erfassen, schlagen Chabi-Yo, Huggenberger und Weigert vor, ein neues Maß für das systematische Risiko einzuführen, das sie als MCRASH bezeichnen. Sie definieren MCRASH für eine Aktie als die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Aktie ein Left-Tail-Ereignis ereilt, wenn zumindest bei einem der anderen Risikofaktoren zum gleichen Zeitpunkt ein Left-Tail-Ereignis eintritt. Sie schlagen vor, quantilbasierte Schwellenwerte für die entsprechenden Left-Tail-Ereignisse der Aktie und der Faktoren zu verwenden, was bedeutet, dass MCRASH nicht durch univariate Risikomerkmale beeinflusst wird. Mit ­dieser Definition kann MCRASH als eine Verallgemeinerung der bivariaten Lower-Tail-Abhängigkeitskoeffizienten betrachtet werden.

Eine erste Vorstellung davon, warum MCRASH sich vom bivariaten Crash-Risiko einer Aktie mit dem Markt unterscheidet, gibt die Grafik „Konzept des multivariaten Crash-Risikos“. Sie zeigt Renditezeitreihen von den zwei Risikofaktoren A (Marktrisiko) und B (Nicht-Markt-Risiko) und drei einzelnen Assets (1, 2 und 3). Das individuelle – univariate – Crash-Risiko aller drei Assets ist vergleichbar, da jeder der Vermögenswerte zwei große negative Renditevorfälle in ähnlicher Größenordnung ausweist. Die drei Assets unterscheiden sich jedoch hinsichtlich ihrer Sensitivität gegenüber den Abstürzen der beiden systematischen Faktoren. Bei Asset 1 kommt es zu einem gleichzeitigen Absturz von Faktor A, der jedoch durch den Absturz von Faktor B nicht negativ beeinflusst wird. Umgekehrt kommt es bei Asset 2 zu einem gemeinsamen Left-Tail-Ereignis mit Faktor B, jedoch nicht mit Faktor A. Bei Asset 3 hingegen kommt es zu einem gleichzeitigen Absturz beider systematischer Faktoren. Ein bivariates Crash-Risikomaß, das sich ausschließlich auf den Risikofaktor A, den Markt, konzentriert, würde darauf hindeuten, dass das Crash-­Risiko von Vermögenswert 1 und 3 identisch ist und dass das systematische Crash-Risiko von Vermögenswert 2 gleich null ist. Im Gegensatz dazu berücksichtigt MCRASH das Crash-Risiko von Vermögenswert 2 und weist den höchsten Grad an systematischem Crash-Risiko dem Vermögenswert 3 zu, der gleichzeitig mit den beiden Risikofaktoren A und B abstürzt.

Wenn ein Investor wegen der Tail-Events beider Faktoren besorgt ist, sollte er eine höhere Prämie für die Risikoübernahme der Crash-Möglichkeiten von Asset 3 fordern als für Asset 1 oder 2. Um diese Idee in eine Formel zu gießen, analysieren die Autoren die Relevanz des multivariaten Crash-Risikos für die Asset-Preise in einem Umfeld, in dem der wahre unbekannte stochastische Diskontierungsfaktor SDF durch seine Projektion auf einen gegebenen Satz von Faktoren ersetzt wird. Per definitionem kann diese Projektion dann als (messbare) Funktion der Faktorrenditen niedergeschrieben werden, und aus der Anwendung einer Taylorreihenerweiterung erster Ordnung ­ergibt sich die Zerlegung der Risikoprämie eines Assets in lineare Faktor-Betas.

Die Autoren schlagen eine einfache Erweiterung dieses Standards vor, indem sie einen Term hinzufügen, der die Näherungsqualität für Left-Tail-Ereignisse verbessert. Diese Erweiterung ermöglicht es, die Risikoprämie mit der multivariaten Crash-Sensitivität einer Aktie zu verknüpfen, die durch MCRASH gemessen wird. Mit anderen Worten: Die Autoren erweitern die linea­ren Standard-Multi-Faktor-Modelle, bei denen MCRASH die Prämie für das – nichtlineare – Exposure zum systematischen Crash-Risiko darstellt. Die theoretischen ­Ergebnisse implizieren, dass die erwartete Überschussrendite einer Aktie mit MCRASH steigt, wenn der prognostizierte stochastische Diskontierungsfaktor SDF ­eine konvexe Funktion der Faktorrenditen ist.

Um diese theoretische Prognose empirisch zu überprüfen, verwenden die Autoren tägliche Renditedaten für US-Stamm­aktien, die von 1964 bis 2018 an der NYSE/AMEX/NASDAQ gehandelt wurden, und schätzen die monatlichen MCRASH-Risikomaße für jede Aktie und jeden Monat. In der Hauptanalyse messen sie MCRASH in Bezug auf ein Sieben-Faktor-Modell, das die von ­Fama und French vorgeschlagenen Faktoren um einen Momentum-Faktor und einen Low-Risk-Faktor ergänzt. Konkret beziehen sie den Marktfaktor (MKT), den SMB-Größenfaktor, den HML-Value-Faktor, den RMW-Rentabilitätsfaktor, den CMA-Investmentfaktor, den UMD-Momentumfaktor, wie ihn Carhart 1997 vorschlug, sowie den BAB-(Betting against Beta)-Faktor, wie ihn Frazzini und Pedersen 2014 vorstellten, mit in die Rechnung ein.

Im Basismodell wird MCRASH auf dem Fünf-Prozent-Wahrscheinlichkeitsniveau unter Verwendung eines rollierenden Zeitfensters von 250 Tagen (d. h. ein Jahr täglicher Daten) berechnet. Die Autoren verwenden parametrische GARCH-(Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)-Modelle für die Verteilungen der marginalen Renditen der Aktien und für die Risikofaktoren mit einer nichtparametrischen Schätzung der Abhängigkeitsstruktur. Auf diese Weise tragen sie dem Volatilitäts-Clustering Rechnung, setzen aber keine ­restriktive Form für die (potenziell nichtlinearen) Abhängigkeiten zwischen Aktien- und Faktorrenditen auf. Im Schnitt liegen die MCRASH-Schätzungen zwischen 0 und 0,17 mit einem Mittelwert von 0,08. Die durchschnittliche Korrelation von MCRASH mit linearen Faktor-Betas und Unternehmenscharakteristika, die in der empirischen Analyse enthalten sind, ist bescheiden, wobei für das Markt-Beta ein Höchstwert von 0,28 erreicht wird.

In den Haupttests betreffend die Bewertung von Assets setzen die Autoren den am Ende des Monats t geschätzten MCRASH einer Aktie in Beziehung zu den künftigen Renditen und Alphas im Monat t+1. Die Ergebnisse aus gleichgewichteten univariaten Portfolios zeigen, dass die Überschussren­diten im Monat t+1 monoton mit dem MCRASH-Wert am Ende des Monats t ­zunehmen. Die Renditedifferenz zwischen Aktien mit dem höchsten MCRASH-Wert und dem niedrigsten MCRASH-Wert beträgt auf Jahresbasis 4,68 Prozent und ist ­statistisch signifikant auf dem Einprozent­niveau mit einem t-Wert von 3,69. Wenn die Renditedifferenz von MCRASH (10) minus MCRASH (1) um den Markt sowie um die anderen sechs Faktoren bereinigt wird, beträgt sie annualisiert 5,28 Prozent und ist auf dem 99-prozentigen Konfidenzniveau mit einem t-Wert von 4,79 statistisch signifikant. Wenn man das lineare Exposure zu den Faktoren, die bei der Schätzung von MCRASH verwendet werden, mit einbezieht, erhöht sich sogar die statistische und ökonomische Bedeutung der Renditedifferenz von MCRASH (10) minus MCRASH (1). Eine weitere Feststellung ist, dass die Renditedifferenz MCRASH (10) minus MCRASH (1) statistisch signifikant und wirtschaftlich groß bleibt, wenn sie durch alternative Faktormodelle risikoadjustiert wird. Darüber hin­aus ist die Auswirkung von MCRASH nicht auf die Performance im nächsten Monat beschränkt,sondern bleibt auch für die risikobereinigten kumulativen Renditen bis zu einem halben Jahr (Monat t + 6) stark.

Der positive Effekt von MCRASH auf die durchschnittlichen Aktienrenditen wird durch multivariate Tests bestätigt. Die Ergebnisse der Fama- und MacBeth-Regressionen von Überschussrenditen im Monat t + 1 auf MCRASH im Monat t bei gleichzeitiger Kontrolle von linearen Risikoexposures (d. h. Aktien-Betas zu verschiedenen Asset-Preis-Faktoren) und Unternehmenscharakteristika (Size, Kurs-Buchwert, Momentum, Reversal, Aktienilliquidität und maximale Tagesrendite im Monat t) deuten darauf hin, dass MCRASH eine positive Determinante für erwartete zukünftige Aktienrenditen ist. In einer Variante mit allen Faktor-Betas, die dem erweiterten linearen theoretischen Modell entspricht, beträgt der geschätzte Koeffizient für MCRASH 4,37 mit einem t-Wert von 5,89. Bei allen Varianten liegen die Koeffizientenwerte zwischen 2,69 und 5,56 mit t-Werten zwischen 3,58 und 6,70. Bei einem (90 Prozent minus 10 Prozent-)Interquantil-Spread von 0,08 zwischen den Aktien mit dem höchsten und dem niedrigsten MCRASH-Wert entsprechen diese Koeffizienten annualisierten Prämien zwischen 2,58 und 5,34 Prozent.

Die positive Beziehung zwischen MCRASH und zukünftigen Renditen bleibt bestehen, wenn man andere Maße für das Downside- und das Tail-Risiko verwendet. Diese Ergebnisse sind ein deutlicher Beleg dafür, dass das multivariate Crash-Risiko von Aktien für die Investoren wichtig ist und dass die MCRASH-Renditeprämie nicht bereits unter den marktbasierten Abwärts- und Tail-Risikoprämien subsumiert ist.

Schließlich wird das Pricing alternativer Konzepte des multivariaten Crash-Risikos untersucht. Zunächst berechnen die Autoren bivariate Crash-Risikomaße für den Markt und jeden der sechs Nicht-Markt-Faktoren des Sieben-Faktor-Modells, die für die Berechnung von MCRASH verwendet werden. Dabei finden die Autoren, dass die Sensitivität einer Aktie gegenüber Markt-Crashs eine positive Risikoprämie bei zukünftigen Aktienrenditen mit sich bringt; darüber hinaus zeigen die Ergebnisse eine schwach signifikante Prämie für das Exposure zu Crashs des Size- und des Rentabilitätsfaktors. Multivariate Regressionen deuten jedoch darauf hin, dass die Wirkung von MCRASH auf künftige Renditen von keinem der bivariaten Crash-Risikomaße subsumiert wird. Im Gegenteil, die Ren­diteeffekte der bivariaten Crash-Maße für den Markt, den Size- und den Rentabilitätsfaktor werden unbedeutend, wenn man in multivariaten Regressionen im Hinblick auf die Auswirkungen von MCRASH (und die Unternehmenscharakteristika) kontrolliert.

Zweitens richten die Autoren ihr Augenmerk auf gemeinsame Crashs mehrerer Faktoren. Dafür führen sie ein Maß namens JCRASH (Joint Crash) ein, das definiert ist als die bedingte Wahrscheinlichkeit einer Aktie, ein Left-Tail-Ereignis zu erfahren, wenn mehrere Faktoren gleichzeitig zum selben Zeitpunkt ebenfalls einem Left-Tail-Ereignis – anstelle der Bedingung des Auftretens von mindestens einem Faktor-Crash – ausgesetzt sind (siehe Tabelle „Gemeinsame Crashs mehrere Faktoren“). Zur Schätzung der JCRASH-Koeffizienten verwenden die Autoren parametrische Copula­-Modelle, die GARCH-Skewed-Margins mit dieser Copula kombinieren. Die Modelle wurden wieder mit einem rollierenden Schätzzeitraum von 250 Tagen gerechnet. Alle unabhängigen Variablen wurden um Ausreißer bereinigt („winsorized“) auf dem Konfidenzniveau von 99,5 Prozent.

Da simultane Crash-Ereignisse sehr selten auftreten, beschränkt sich die Analyse auf simultane Crashs von Faktorpaaren einschließlich des Marktes sowie auf simultane Crashs der drei Faktoren von Fama und French, der vier Faktoren von Carhart und der fünf Faktoren von Fama und French. Dabei stellen die Autoren fest, dass es mehrere Faktorkombinationen gibt, für die JCRASH einen signifikant positiven Effekt auf zukünftige Renditen hat, wobei Markt und Size sowie Markt und Rentabilität am ausgeprägtesten sind. Der signifikante Einfluss dieser gemeinsamen Faktor-Crashs bleibt auch dann stabil, wenn MCRASH in multivariate Regressionen einbezogen wird.

Unter anderem leistet diese Studie einen Beitrag zur Literatur über die Anwendung nichtlinearer Abhängigkeitsmaße im Finanzbereich. Patton (2004), Christoffersen et al. (2012) und Christoffersen und Langlois (2013) entwickelten dynamische Copula-Modelle, um Nichtlinearitäten in der bedingten Abhängigkeitsstruktur von Vermögens- und Faktorrenditen zu beschreiben. Die vorliegende Arbeit ist die erste, die die Auswirkungen nichtlinearer Abhängigkeiten in Multi-Faktor-Modellen auf die Asset-Preis-Bildung untersucht. Die Ergebnisse deuten darauf hin, dass die Einbeziehung solcher Abhängigkeitsmerkmale Risiko­prämien von Aktienrenditen erklären kann, ohne dass die Faktorpalette erweitert werden muss.

Die Autoren schlagen ein multivariates Crash-Risiko-Maß, MCRASH genannt, vor, das die Sensitivität einer Aktie gegenüber extremen Ausprägungen aller Risikofaktoren in einem Asset-Pricing-Modell erfasst. Mithilfe einer neuen Erweiterung des stochastischen Diskontierungsfaktors, der von mehreren Risikofaktoren abhängt, können die Autoren eine Tail-bezogene Komponente der erwarteten Aktienrendite isolieren, die mit dem Exposure zu dem multivariaten Crash-Risiko zunimmt. In Übereinstimmung mit den Modellergebnissen hat MCRASH einen signifikant positiven Einfluss auf die durchschnittlichen zukünftigen Aktienrenditen.

Es zeigt sich, dass eine Anlagestrategie, die monatsweise das Portfolio mit dem höchsten MCRASH-Dezil long und dem niedrigsten MCRASH-Dezil short geht, ­eine durchschnittliche Renditedifferenz von 4,68 Prozent mit einem t-Wert von 3,69 im Monat darauf aufweist. Diese Renditedif­ferenz bleibt stabil, wenn man in Regres­sionen die Ergebnisse im Hinblick auf das Exposure zu linearen Risikofaktoren kontrolliert.

Dr. Kurt Becker

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