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Produkte & Strategien

1/2022 | Produkte & Strategien
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Die Rucksack-Lösung

Wo Diversifikation endet und Überdiversifikation beginnt, ist eine Frage, die sich jeder ­Anleger stellen muss. Investmentexperten von BlackRock haben sich auf die Suche nach Antworten auf dieses wichtige Problem gemacht und dafür eine neue Lösung entwickelt.

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Dass Diversifikation den zuverlässigsten Schutz gegen böse Überraschungen in der Kapitalanlage darstellt, ist hinlänglich bekannt. Allerdings wächst mit der Ausweitung eines Portfolios der Überwachungsaufwand. Die Suche nach dem „optimalen“ Diversifikationsgrad bleibt daher eine zentrale Aufgabe in der professionellen Veranlagung.

© BlackRock (2), william w. potter | stock.adobe.c
Selbst überzeugten Anhängern der Effizienzmarkt­hypothese fällt es mitunter schwer, nur passiv am Marktgeschehen teilzunehmen. Gerade als professioneller Anleger hat man doch den Ehrgeiz, die eigenen Marktkenntnisse und Erfahrungen in die ­Arbeit einfließen zu lassen. Diese Versuchung ist natürlich umso größer, je weniger effizient die Märkte sind.
 
Aber von der Entscheidung, aktiv ins Geschehen einzugreifen, ist es dann ein weiter Weg zum Anlageerfolg – und er ist gespickt mit Stolpersteinen. Ein Blick in die Fachliteratur zeigt, dass es dabei in vielen Detailfragen noch beträchtliche Lücken gibt. So wird etwa die Frage, wie viele aktive Fonds ein ­Investor halten sollte, bisher kaum behandelt, obwohl dieses Problem alles andere als nebensächlich ist. Zu einen ist es ohne Zweifel sinnvoll, auch innerhalb eines Anlagethemas auf mehrere Produkte zu setzen, um etwa das Initiatorenrisiko zu streuen, zum anderen verursacht diese Diversifika­tion natürlich zusätzliche Kosten, weil sich Skaleneffekte verringern und der Überwachungsaufwand zunimmt.
 
Neuer Algorithmus
In diesem Licht betrachtet, erscheint eine aktuelle Arbeit von drei BlackRock-Spe­zialisten besonders interessant, vor allem weil Andrew Ang, Ananth Madhavan und Jason Ribando auf der Suche nach der ­optimalen Anzahl aktiver Fonds oder Anlagestrategien einen neuartigen Algorithmus entwickelt haben. Dieser Ansatz – Informatiker sprechen von einem Greedy Algorithm – bietet mehrere Vorteile gegenüber traditionellen quantitativen Ansätzen zur klassischen institutionellen Portfoliokonstruktion, die häufig auf der Mean-Variance-Optimierung basieren. 
 
Der von den BlackRock-Quants ent­wickelte und im Dezember 2021 publizierte Algorithmus funktioniert so: Zunächst wird der aktive Fonds ausgewählt, der die höchste Information Ratio (IR) aufweist. Unter der Annahme, dass man ein Portfolio mit diesem aktiven Fonds hält, bewertet man die Information Ratios der übrigen Fonds, wobei die IRs der nicht ausgewählten Fonds vom bestehenden Portfolio des Investors, das den ersten Fonds enthält, abhängig sind. Dann gestaltet man das Portfolio des Investors so um, dass es aus dem in der ersten Runde ausgewählten Fonds und dem zweiten Fonds mit der höchsten Information ­Ratio besteht. In einem weiteren Schritt ­ermittelt man neuerlich die Information ­Ratios der verbleibenden Fonds relativ zu diesem Portfolio, das aus den ersten beiden Fonds besteht. Nun wählt man den dritten Fonds mit der höchsten Information Ratio aus. So fährt man mit der Auswahl von Fonds fort und berechnet die Information Ratios der verbleibenden Fonds jeweils neu, solange der Tracking Error des Portfolios oberhalb eines definierten Zielwerts bleibt. Innerhalb dieses Rahmens sind viele Adaptionen möglich, zum Beispiel die Neudefinition des Auswahlkriteriums, wo man statt der Information Ratio auf noch anspruchsvollere Kenngrößen zurückgreift, ein Rebalancing des Portfolios, sobald der n-te Fonds ausgewählt wurde, oder die Einbeziehung von Transaktionskosten und Überlegungen zu ESG-Kriterien.
 
Der Algorithmus ist skalierbar und intuitiv; unter bestimmten Bedingungen ist er optimal und kann als eine Implementierung des Greedy-Knapsack-Algorithmus (Rucksack-Problem; siehe Kasten auf Seite 192) aus der Kombinatorik interpretiert werden. Der Algorithmus eignet sich nach Ansicht seiner Schöpfer zudem gut für eine reale Umsetzung – und dabei vor allem besser als die Mean-Variance-Optimierung von Markowitz. Erstens neigen Mean-Variance-Portfolios dazu, eine große Anzahl kleiner Positionen zur Risikodiversifizierung zu bilden, auch wenn es Portfolios mit ähnlichen Risiko-Rendite-Profilen, aber deutlich weniger Fonds geben kann. Zweitens ist die Mean-Variance-Optimierung nicht gut für die sequenzielle Natur des Portfolioauf- beziehungsweise -ausbaus geeignet, wo es sehr oft darum geht, immer wieder einen neuen Fonds zusätzlich zu den bereits bestehenden zu allokieren. 
 
Um das zu belegen, stellte das Trio seine Methode mehreren typischen Mean-Va­riance-Implementierungen gegenüber. Und hier zeigen die Daten, dass ihr Ansatz tatsächlich zu funktionieren scheint – und das mit einer deutlich geringeren Anzahl von Fonds. 
 
Attraktive Sparsamkeit
Die Beschränkung auf eine geringere Zahl von Fonds ist aus mehreren Gründen eine attraktive Eigenschaft bei der Methode der optimalen Fondsselektion. Modellportfolios von Consultern umfassen in aller ­Regel weniger als 20 aktive Fonds, wie Lawler, Mossmann, Nolan und Ang 2020 in „Factors and Advisors Portfolios“, einem Beitrag zum Journal of Wealth Management, festhielten. Jenkinson, Jones und Martinez recherchierten 2015 in „Picking Winners? Investment Consultants’ Recommendations of Fund Managers“, dass Beratungsunternehmen, die bei der Vermittlung von Investmentfondsanlagen für Institutionelle speziell im angelsächsischen Raum ­eine wichtige Rolle spielen, nur eine kleine Teilmenge der vielen tausend verfügbaren Fonds einsetzen. 
 
Wählen Pensionsfonds selbst regelmäßig Produkte aus, landen letztlich nur relativ wenige Fonds aus tausenden möglichen Optionen im Portfolio, wie Goyal und Wahal 2008 in „The Selection and Termination of Investment Management Firms by Plan Sponsors“, veröffentlicht im Journal of ­Finance, fanden. Dies steht im Einklang mit Ressourcenbeschränkungen beim Monitoring und der Auswahl von aktiven Managern, wobei vielleicht die psychischen Kosten, also die Anstrengungen der Fondsselektoren, mindestens so wichtig oder sogar wichtiger sind als die physischen Limits, wie Van Nieuwerburgh und Veldkamp 2010 in ihrem Aufsatz „Information Acquisition and Underdiversification“ erwähnten. Eine sparsame Fondsauswahl kann auch die ­Gefahr einer indirekten Indexierung durch die Hintertür reduzieren, wie man in „How Active is Your Fund Manager?“ von Cremers und Petajisto, publiziert 2009 in der Review of Financial Studies, lesen kann. 
 
Die wenigen Arbeiten, die sich mit der optimalen Anzahl von Wertpapieren in ­einem Portfolio befassen, konzentrieren sich meist auf die Mindestanzahl von Wertpa­pieren, die erforderlich ist, um eine breite Diversifikation zu erreichen und das aktive Risiko zu verringern. So lautet beispielsweise die bekannte Schlussfolgerung, dass nur einige Dutzend, möglicherweise sogar nur zehn Aktien, ein geringes aktives Risiko im Vergleich zu Benchmarks für die Markt­kapitalisierung erreichen können. Die BlackRock-Forscher wollten aber nicht die minimal benötigte Diversifikation finden, sie untersuchten die optimale Anzahl von Fonds, die erforderlich ist, um ein Portfolioziel zu erreichen, wenn die Zahl der Fonds klein sein und ein ausreichend hohes aktives Risiko beibehalten werden soll. Denn jenseits des optimalen Portfolios beginnt unmittelbar die Problematik der Überdiversifikation, die ebenfalls vermieden werden sollte.
 
„What Free Lunch?“
Dass diese kein zu unterschätzendes Problem sein kann, zeigten Autoren wie das State-Street-Trio Shawn McKay, Robert Shapiro und Ric Thomas. Sie gelangten in „What Free Lunch? The Costs of Over­diversification“ zu dem Resultat, dass es in einem Portfolio zu viele Fonds geben kann, was zu einer Überdiversifikation beziehungsweise einem abnehmenden aktiven Risiko führt. In Anbetracht dieser Ergeb­nisse muss es mindestens einen aktiven Fonds geben, um von den Benchmarkrenditen ­abzuweichen, und es können zu viele sein, sodass ein Portfolio dadurch überdiversifiziert ist. Es muss also eine begrenzte optimale Anzahl von aktiven Fonds in ­einem Portfolio geben. Mit einem Rucksack-Algorithmus lässt sich ein praktikables Ergebnis erzielen.
 
Universelle Methode
Zur Veranschaulichung des Ansatzes konzentrieren sich die Autoren auf das Universum der US-Aktienfonds. Ihr Ziel bestand darin, zu zeigen, wie der Algorithmus in ­einem praktischen Kontext angewendet werden kann: Der Anwendungsfall ist für jene gedacht, die für ihre Kunden Portfolios von Fonds verwalten und eine kleine Teilmenge von Fonds auswählen müssen. Natürlich können auch andere Investoren anstelle von Investmentfonds, etwa Hedgefonds oder separat gemanagte Konten oder institutionelle Spezialfonds, in Betracht gezogen werden, aber die Methode ist dieselbe. Die von Ang, Madhavan und ­Ribando gefundenen empirischen Ergebnisse sind dennoch anwendbar. Viele Vermögensverwalter bieten Investmentfonds an, die sehr ähnliche Strategien für institutio­nelle Kundensegmente wie Pensionsfonds, Stiftungen und andere Sammelvermögen umsetzen, wenngleich zu unterschiedlichen Gebühren.
 
Schätzer vermieden
Die Autoren betonen, dass ihr Ziel darin bestand, den Algorithmus zu veranschaulichen, der auf jedwede Schätzung von Mittelwerten, Kovarianzen oder andere Performancestatistikgrößen angewendet werden kann. Bei dessen Anwendung verwendet das Trio Standardschätzer für Risiko und Rendite. Außerdem konzentriert man sich auf realisierte und nicht auf prognostizierte Renditen. 
 
Basis der Untersuchung waren vierteljährliche Bestandsdaten für das gesamte Universum der in den USA domizilierten und auf die USA ausgerichteten aktiven ­Aktienfonds auf der Ebene der Hauptklasse von Morningstar. Als Mindestschwelle der Stichprobe wurde eine Fondsgröße von einer Million US-Dollar (zum 30. Juni 2016) festgelegt und ein fünfjähriger Track Record für den Zeitraum vom 30. Juni 2016 bis zum 30. Juni 2021 verlangt. Daraus ergeben sich 1.240 Fonds mit einem Gesamtvermögen von 4,41 Billionen US-Dollar zum 30. Juni 2021. Berechnet werden die aktive Rendite (Alpha) im Vergleich zur im Fondsprospekt angeführten Benchmark und das aktive ­Risiko, also die Volatilität der aktiven Rendite, für jeden Fonds. Dabei stellen die Auto­ren fest, dass für die aktiven Fonds insgesamt die durchschnittliche jährliche aktive Rendite mit minus 0,77 Prozent negativ ist, wobei das negative Vorzeichen mit den bisherigen Erkenntnissen aus der wissenschaftlichen Literatur übereinstimmt. Fama und French haben beispielsweise schon 2010 in „Luck versus Skill in the Cross-Section of Mutual Fund Returns“ davon berichtet. Es gibt jedoch Manager, die eindeutig erfolgreich sind, und diese stehen auch im Mittelpunkt der Analyse. Konkret haben 201 der 1.240 Manager ein positives Alpha im Vergleich zu ihrer Benchmark erzielen können. Die Autoren nehmen auch die hohe jährliche residuale Volatilität zur Kenntnis – das ist jene, die netto nach Berechnung der Stilfaktorrenditen gemäß dem Ansatz von Fama und French 1993 übrigbleibt. Diese residuale Volatilität beträgt durchschnittlich fünf Prozent und ist sehr weit gespannt. Die Extrema reichen von 1,99 Prozent bei einem geschlossenen indexähnlichen Fonds bis zu 18,35 Prozent (siehe Grafik „Zusammensetzung der aktiven Fondsrendite“).
 
Minimaler Stil-Drift
Institutionelle Investoren oder deren Berater, die aktive Fonds für ihre Portfolios auswählen, konzentrieren sich auf Fonds mit einem starken Track Record bei der Wertpapierauswahl und einem minimalen Stil-Drift. Daher führen die Autoren eine Vorauswahl der Fonds durch, um „High Conviction“-Alpha-Fonds auszuwählen. Sie führen Regressionen der Fondsrendite auf Faktoren wie Marktrenditen, Momentum, Value und Size durch und stellen auf die statistische Signifikanz des jeweiligen positiven Fonds-Alphas ab. Nachteil dieses Zeitreihen-Regressionsansatzes ist, wie die Autoren selbst festhalten, dass die Alpha-Schätzungen (und die damit verbundenen Standardfehler) implizit davon ausgehen, dass die Manager nicht versuchen, ihr Faktor-Exposure zu timen, da die Faktorladungen (Stil-Betas) als konstant angenommen werden. In der Realität allerdings versuchen die Fondsmanager oft, Faktoren zu timen, und folglich können die Alpha-Schätzungen und die damit verbundene statistische Signi­fikanz verzerrt und inkonsistent sein. Möglicherweise führt das dazu, dass nur eine kleine Untergruppe von Fonds Alpha-Schätzungen  liefert, die positiv sind und sich statistisch signifikant von null unterscheiden.
 
Alpha aufschlüsseln
Ein alternativer Ansatz besteht darin, ­das Alpha weiter aufzuschlüsseln, um diejenigen Manager herauszufiltern, die über entsprechende Fähigkeiten (Skill) bei der Wertpapierauswahl oder beim Faktor-Timing verfügen. Im Gegensatz dazu stehen die Überschussrendite, die sich aus statischen Faktorengagements ergeben. Das Trio wendete die bestandsbasierte Methodik an, die Ang, und Madhavan gemeinsam mit ihrem Kollegen Aleksander Sobczyk schon 2017 unter dem Titel „Estimating Time-Varying Factor Exposures“ vorgestellt haben. Ihr Ansatz basierte auf Arbeiten von Andrew Lo und Hsu, Kalesnik und Myers. Es ging darum, die aktive Rendite des Fonds als Summe von Komponenten auszudrücken, die sich aus der Wertpapierselektion, dem Faktor-Timing, statischen Faktor-Exposures und anderen statischen Exposures zu Branchen oder Sektoren zusammensetzen.
 
Über alle Fonds hinweg ist die größte ­Beeinträchtigung des Alphas tatsächlich auf die Wertpapierauswahl zurückzuführen: Die durchschnittliche jährliche Rendite für die Aktienselektion beträgt minus 1,15 Prozent. Das bedeutet, dass die anderen Komponenten positives Alpha beitragen. In dieser Analyse stellen die Autoren zudem fest, dass 91 Fonds mit positivem Alpha auch ein positives Alpha bei der Wertpapierauswahl aufweisen. Diese Fonds bilden den Schwerpunkt der weiteren Analyse.
 
Faktor-Kovarianzmatrix
Der nächste Schritt zur Implementierung des Algorithmus ist die Schätzung einer Faktor-Kovarianzmatrix. Die BlackRock-Experten verwenden diese Kovarianzmatrix für zwei Zwecke: erstens im Rucksack-Greedy-Algorithmus, um zu bestimmen, ob das aktuelle Portfolio plus einem zusätzlichen Fonds den Schwellenwert für den minimalen Tracking Error noch überschreitet, und zweitens zur Durchführung der Mean-Variance-Optimierung zum Vergleich mit den Rucksack-Ergebnissen.
 
Die Gegenüberstellung der Ergebnisse „Gieriger Rucksack-Algorithmus vs. Mean-Variance-Optimierung vs. Informa­tion-Ratio-Maximierungsansätze“ ergibt ein klares Bild (siehe Tabelle „Portfoliokonstruktionsansätze im Vergleich“). Betrachtet man den gierigen Knapsack-Algorithmus, so wurde hier von einem Mindest-Tracking-Error (Termin) von 0,02, also einem minimalen aktiven Risiko von zwei Prozent, ausgegangen, das es nicht zu unterschreiten gilt. Unter den 201 Fonds mit positivem ­Alpha wählt der Rucksack-Algorithmus nur neun Fonds aus. 
 
Im Fall der Mean-Variance-Optimierung (MVO) mit Long-only-Fonds existiert in der Regel keine geschlossene Lösung. Einige Erkenntnisse kann man unter zwei Aspek­ten gewinnen: Erstens wird eine MVO ohne Restriktionen in alle Fonds mit positivem Alpha investieren. Zweitens ergibt sich aus dem Spezialfall des Minimum-Varianz-Portfolios mit Long-only-Beschränkungen, das auf der Effizienzkurve liegt, dass sich die optimalen Gewichtungen für die enthaltenen Fonds unter Annahme eines Ein-Faktor-Modells berechnen lassen. In diesem Fall werden nur die Fonds mit dem niedrigsten Beta herangezogen. Das sind ­etwa 20 Prozent beziehungsweise zirka 40 Fonds aus der Stichprobe. Die tatsächliche Anzahl bei Einsatz der Long-only-Restrik­tion liegt bei 24 Fonds.
 
Die Lösung, die auf der Maximierung der Information Ratio basiert, schneidet schlecht ab. Sie kann nicht mit der Information Ratio des Algorithmus mithalten und erfordert nicht, dass der Tracking Error größer als der minimale Tracking Error ist. Das resultiert laut den Autoren wahrscheinlich aus der Schwierigkeit, eine Optimierung durchzuführen, die nicht quadratisch ist. Im Fall der Gleichgewichtung der Fonds mit positivem Alpha werden alle 201 Fonds her­angezogen, und die daraus resultierende Information Ratio von 20,11 ist nicht plausibel. Im Fall des Fehlens von Einschränkungen bei der Optimierung verhält es sich sogar noch schlimmer mit der Information Ratio, denn diese ist eindeutig überangepasst (overfitted). Versucht man eine ­eingeschränkte Maximierung der ­Information Ratio, indem man nur die Fonds, die nach dem Rucksack-Algorithmus ausgewählt wurden, heranzieht, so erzielt man eine Überschussrendite von 5,42 Prozent. Dabei errechnet sich ­eine Information Ratio von 0,30 und ein Tracking Error von 13,38 Prozent. In der unteren Zeile der Tabelle „Portfoliokonstruktionsansätze im Vergleich“ ist eine Ecklösung dargestellt, wo bei der Maximierung der Information Ratio nur ein Fonds allokiert wird.
 
Rucksack-Lösung
Eine nähere Betrachtung der Rucksack-Lösung ist nötig, um besser zu verstehen, wie der Algorithmus funktioniert und wie er in realen Situationen eingesetzt werden könnte. Eine Frage, die die Autoren interessierte, ist die Sensitivität der Lösung für verschiedene Niveaus des minimalen Tracking Errors über den Basisfall von zwei Prozent hinaus. In ihrer Analyse zeigen die Forscher, dass die Anzahl der im Rucksack ­befindlichen Fonds mit steigendem minimalem Tracking Error deutlich sinkt. Auch die Information Ratio des Portfolios geht deutlich zurück (siehe Grafik „Rucksack-Port­folios unter der Lupe“).
 
Es stellt sich heraus, dass bei einem niedrigen minimalen Tracking Error von einem Prozent genau 21 Fonds aus dem Pool von 201 möglichen Fonds ausgewählt werden, was etwa 10,4 Prozent der selektierbaren Fonds entspricht. Wenn das Tracking-Error-Minimum steigt, sinkt die Information Ratio des Portfolios und damit auch die Anzahl der Fonds. Dies ist insofern plausibel, als es, um über dem Minimum zu bleiben, weniger Fonds braucht, wenn der Tracking-Error-Schwellenwert größer wird.
 
Eine zweite Frage betrifft die Natur der Lösung im Basisfall. Dabei wird nämlich sichtbar, dass große Wachstumsfonds in dem betrachteten fünfjährigen Zeitfenster das höchste Alpha aufweisen und es daher sein kann, dass der Rucksack-Algorithmus in Wirklichkeit keine echte Diversifikation bietet. Betrachtet man die Entwicklung der Information Ratio des Rucksack-Portfolios für jeden Fonds, der durch den gierigen ­Algorithmus hinzugefügt wurde, erkennt man, dass die Information Ratio leicht steigt, die Überschussrendite mit jedem hinzukommenden Fonds leicht sinkt und sich der minimale Tracking Error von oben der Zwei-Prozent-Marke nähert (siehe Grafik „Tiefer gebohrt“). Die Autoren zeigen zwar hier nicht die Ticker der Fonds, stellen aber fest, dass es sich um eine breite Mischung von Fonds mit unterschiedlichen Benchmarks (Value und Growth) und aus unterschiedlichen Marktkapitalisierungssegmenten (Large, Mid und Small Caps) handelt. Es stimmt zuversichtlich, dass der Algo­rithmus tatsächlich nicht einfach nur auf ­eine Kategorie von US-Aktienfonds setzt. Begrüßenswert ist die Tatsache, dass der ­Algorithmus sequentiell angewendet werden kann, da Portfolios in der Praxis meist so aufgebaut sind, dass sie zu einem bestimmten Zeitpunkt eine begrenzte Anzahl von Fonds umfassen. 
 
Dr. Kurt Becker 

Anhang:

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