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2/2018 | Theorie & Praxis
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Scheinunterschiede

Low Volatility und Momentum scheinen sehr unterschiedliche Faktoren zu sein – eine Analyse ­mithilfe von Methoden aus der Signaltheorie fördert jedoch überraschende Ähnlichkeiten zutage.

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Dass die Faktoren Low Volatility und Momentum im Grunde beide auf Trends zurückzuführen sind, erschließt sich dem oberflächlichen Betrachter nicht so ohne Weiteres. Erst die mathematische Analyse fördert die Ähnlichkeiten zutage.

Foto: © GMF, Stocksnapper | stock.adobe.com

Nimmt man die Performance der letzten Monate und wählt daraus die trendstärks­ten Aktien aus, folgt man ­einer Momentum-Strategie. Bildet man hingegen ein Portfolio aus den schwankungsärmsten Titeln folgt man einer Low-Volatility-Strategie. Fragt man Investoren nach den Ähnlichkeiten dieser Stra­tegien, würden viele wohl keine ­sehen. Auch die „Zielgruppen“ für diese Strategien sind im Regelfall nicht deckungsgleich. „Low Vol“ ignoriert Trends und gilt als Ansatz für konservative Investoren. Momentum wird hingegen als volatile Strategie verstanden, die von Momentum-Crashes heimgesucht wird, weshalb sie von vorsichtigen Anlegern gemieden wird.


„Beide Faktorstrategien stellen jedenfalls auch die schwache Form der Theorie effizienter Märkte in Frage“, glaubt Wilhelm Berghorn, Mathematiker und Gründer der Mandelbrot Asset Management GmbH mit Sitz in Erlangen. Er hat gemeinsam mit Master-Student Markus Vogl, Professor Martin Schulz von der University of Applied Sciences in Aschaffenburg und Sascha Otto, dem Leiter Wertpapier- und Portfoliomanagement bei der Sparkasse Bremen AG, die Studie „Trend Momentum II: Driving Forces of Low Volatility and Momentum“ verfasst.


Jeder scheint zu wissen, was ein „Trend“ ist, in der Mathematik existiert dafür aber gar keine präzise Definition – ebensowenig wie für den „Zufall“. Das sind philosophische Begriffe, so Berghorn. „Im Aktienmarkt ist die Gretchenfrage, ob Trends, die wir visuell wahrnehmen, ein Produkt des Zufalls sind oder nicht. Hierzu bedienen wir uns eines Trendmodells auf Basis von Wavelets.“ Wavelets analysieren anhand eines signaltheoretischen Kalküls so etwas wie „Sichtbarkeit“ von Strukturen oder Bewegungen – sprich Trends – in Kurscharts. Welche Strukturen „gesehen“ werden, hängt von der Detailebene der Analyse und der generellen Sichtbarkeit dieser Ereignisse ab. Das kann man durchaus mit der Betrachtung von Fotografien vergleichen. Entweder stechen starke Kontrastwechsel ins Auge oder gröbere Strukturen wie zum Beispiel Farbverläufe.


Dass solche Trends aus einem reinen ­Zufallsprozess entstehen, ist die Annahme der klassischen Theorie. Berghorn gelang es aber schon früher, zu zeigen, dass Trends eben nicht dem reinen Zufall geschuldet sind und man entlang dieser Trends erfolgreich investieren und damit den Markt schlagen kann. Wenn man über Trends rede, so Berghorn, müsse man neben der Zeit­skala – Granularität genannt – auch über das zugrunde liegende Modell oder den Mechanismus der Messung reden. Ähnlich den gleitenden Durchschnitten in der Chartanalyse gebe es auch bei der Trendzerlegung in Wavelets (kleine Wellen) eine bestimmte Definition zur Messung. Das Trending, das man bei klassischen Momentum-Strategien bei Aktien beobachten kann, wird mithilfe von Wavelets überprüft.


Wavelets waren schon in den 80er- und 90er-Jahren in der Mathematik ein Thema. Sie finden Anwendung in der Signalver­arbeitung, vor allem in der Signalkompression, bei denen eine Wavelet-Transforma­tion zugrunde liegt. Man denke nur an Bild- und Videodatenkompressionsverfahren wie etwa beim JPEG-2000 und MPEG-4-Format. Wichtig ist dabei die sogenannte Wave­let-Skala, also die Detailebene, auf der dann Signale analysiert werden. Hier die richtige Granularität zu finden, die sich im Zeitablauf auch ändern kann, ist eines der Erfolgsgeheimnisse. Die Grafik „Wavelets: Die Skala entscheidet“ illustriert verschiedene Granularitäten bei der Trendzerlegung des Dax Performance Index zwischen 2004 und 2012.


Neben Behavioral-Finance-Erklärungen gibt es ökonomische und mathematische Gründe. So verursacht das Gewinnwachstum in Unternehmen Kursanpassungen und damit ein Trending. Auch Gewinnrevisionen treiben das Momentum. Mathematisch betrachtet haben Trends unter der beispielhaft gezeigten Wavelet-Zerlegung lognormalverteilte Trendlängen und Trendsteigerungen, wie unveröffentlichte Ergebnisse von Markus Vogls Masterarbeit zeigen. „Momentum-Aktien zu kaufen bedeutet ein Investment in überlange Trends“, fasst Berghorn zusammen. Lognormalverteilte Trendcharakteristika lassen sich in fast allen Aktien und auf allen Skalenebenen finden, weswegen ein Trendmodell eine gute ­Annahme darstellt. Doch welche Skala ist die beste?


Trends weisen fraktale Charakteristika auf. Denn ob ein Markt oder eine Aktie im Aufwärts- oder Abwärtstrend ist, hängt entscheidend von der gewählten Skala (Granularität) bei der Trendzerlegung ab. So zeigt die Grafik „Wavelets: Die Skala entscheidet“ Trendzerlegungen mit vier unterschiedlichen Granularitäten. In der Signaltheorie mit Wavelets gilt die verallgemeinerte Heisenberg’sche Unschärferelation. Berghorn: „Die ist ein Optimalitätskriterium und besagt, dass es keinen anderen mathematischen Ansatz als den verwendeten gibt, um Trends präziser im Sinne dieses Fundamentalsatzes zu lokalisieren.“ Trends haben auch keine feste Zeitskala, ein weiteres fraktales Merkmal. Damit ist auch die Frage geklärt, ob es so etwas wie einen Einjahrestrend gibt: „Nein“, lautet hier die Antwort des Mathematikers. Trends im Sinne dieses Kalküls haben schon auf einer festen Skala beliebig lange oder kurze Strukturen.


„Ich bin sehr froh, dass sich Professor Schulz und sein Masterabsolvent Markus Vogl mit unserem Trendmodell auseinandergesetzt haben. Schließlich zeigen ihre empirischen Analysen auf einer kleineren Aktienkohorte, dass unsere Annahmen, welche charakteristischen Eigenschaften die Trends nach unserem Modell haben, statis­tisch unter hoher Sicherheit nicht abgelehnt werden können“, sagt Berghorn. Strategien, die auf Trends setzen, wie z. B. Momentum, können durchaus verschieden ausgeprägt sein. So wie es nicht die eine „Value“-Strategie gibt, so gibt es auch bei Momentum durchaus verschiedenste sinnvolle Strategieansätze.


Benoît Mandelbrot konnte gemeinsam mit J. W. Van Ness 1968 im Wesentlichen Albert Einsteins Grundlagenarbeiten zur Brown’schen Bewegung erweitern. Inspiriert von Arbeiten des Hydrologen Harold Edwin Hurst zur Abschätzung von Wasserständen, führt er einen weiteren Parameter ein, um Abhängigkeiten in diesen Prozess zuzulassen: den sogenannten Hurst-Exponenten. Zielsetzung war es, grundlegende Naturphänomene besser modellieren zu können.


Übertragen auf die bestehenden Finanzmarktmodelle bedeutet dies, dass er neben Volatilität und Drift – letztere entspricht der durchschnittlichen täglichen Rendite – einen weiteren statistischen Parameter (den Hurst-Exponenten) hinzufügt, der als Persis­tenzeigenschaft (Trending) und die Anti-Persistenz-Eigenschaft (Mean Reversion) von Renditen interpretiert werden kann. Ein Hurst-Exponent, der sich von 0,5 unterscheidet, bedeutet, dass die Rendite von der Vergangenheit abhängig ist. Mandelbrot sprach in diesem Zusammenhang von einem „Langzeitgedächtnis“ des Aktienmarktes. Verkürzt gesprochen: Werte größer 0,5 bedeuten also Trending, Werte kleiner 0,5 ­Mean Reversion. Für Anhänger der Theorie effizienter Märkte wäre der Idealfall ein Hurst-Wert von exakt 0,5.


Er würde belegen, dass Renditen unabhängig von der ­Vergangenheit sind. Misst man die Unabhängigkeit der Renditen aber konkret nach, ist das nicht zu beobachten. Vielmehr sind 90,64 Prozent der Aktien von ihrer statistischen Vergangenheit abhängig und haben einen Hurst-Exponenten größer 0,5, wie Berghorn in Kooperation mit der Sparkasse in Bremen anhand des Bloomberg World Index Ex China berechnete. Dass Aktienrenditen von heute also abhängig von den gestrigen Renditen sind, hatte Mandelbrot schon richtig erkannt, mangels leistungsfähiger Computer konnte er dies aber nicht berechnen. Diese Ergebnisse sind erst einmal nicht überraschend, stehen sie doch im Einklang mit zahlreichen Arbeiten, die die statische Unabhängigkeit von Renditen in Frage gestellt haben.


Hat der Markt wirklich ein langes Gedächtnis, wie das Modell unterstellt, oder muss man es im Aktienmarkt anders interpretieren? Hierzu wurde folgendes Experiment durchgeführt: Die Autoren zogen von ­allen Aktienkursentwicklungen jene Trends ab, die den Momentum-Effekt ausmachen. Das bewirkte einen Zusammenbruch der Momentum-Strategie, denn nur noch 7,69 Prozent der im Bloomberg World Index Ex China ­zusammengefassten Aktien weisen einen Hurst-Exponenten von über 0,5 auf. Was übrig bleibt ist ein hartes ­„Mean-Reversion- Regime“ – ein Beispiel, das nahelegt, dass „Mean Reversion“ und „Trending“ sich überlagernde Prozesse sind. Das Experiment folgt im Übrigen den Ergebnissen von Andrew Lo aus „Long-Term Memory in Stock Market Prices“, der serielle Korrelationen bei Aktien festgestellt hat. Berghorn über das Experiment: „Es zeigt eindeutig, dass der Hurst-Exponent besser als Maß für Trending oder Persistenz und nicht als Langzeitgedächtnis der Aktien interpretiert werden sollte.“ Weiter ist es ebenso im Einklang mit vorherigen Experimenten, die zeigen, dass die Stärke des Momentum-Effekts maßgeblich von der Volatilität des Markets und dem „Trending“-Verhalten, gemessen durch den Hurst-Exponenten, abhängt.


Doch wie hängt das mit Momentum zusammen? Wenn also 90 Prozent der Aktien einen Hurst-Exponenten von mehr als 0,5 besitzen und deren Kurse damit Trending zeigen, liegt es nahe, ein Portfolio dieser ­Titel aus den Top-100-Aktien der besagten Bloomberg-Benchmark zu entwickeln. ­Gesagt, getan: Das Experiment sortiert alle Aktien nach der Höhe des Hurst-Exponenten und rebalanciert monatlich. Das Ergebnis kann sich sehen lassen, denn die annualisierte Rendite zwischen Anfang 2005 und Ende 2016 liegt bei 17,70 Prozent pro Jahr (nach Transaktionskosten), während der Bloomberg World Index Ex China auf ­lediglich 6,91 Prozent im Jahr kommt. Die Grafik „Auf und davon“ stellt die kumu­lierte Performance der Momentum-Faktor-Strategie auf Basis des Hurst-Exponenten jener des Bloomberg World Index Ex China gegenüber.


 In der Volatilität und beim Maximum Drawdown gibt es nur geringe Unterschiede zugunsten der Momentum-Faktor-Strategie. Betrachtet man die vereinfachte Sharpe ­Ratio, ist diese bei der Momentum-Faktor-Strategie mit 1,36 fast dreimal so hoch wie jene des Bloomberg World Index Ex China mit 0,46. Das Überraschende hier ist, dass die Sortierung nach „Trending“ sich wie ­eine Momentum-Strategie verhält, in der nach der vergangenen Rendite sortiert wird. Damit schlagen die Autoren einen Bogen von den statistischen Abhängigkeiten, die immer wieder im Markt beobachtet wurden, hin zum Momentum-Effekt, der erstmals 1993 publiziert wurde. „Wären die Aktienrenditen im Einklang mit der Unabhängigkeitsannahme, dann würde man in diesem Experiment nicht sinnvoll sortieren können, da alle Aktien den gleichen Hurst-Exponenten 0,5 hätten, und es gäbe auch kein Momentum.“ Zusammenfassend gesagt, gehören Mandelbrot und Momentum also zusammen.


Was das bisher Gesagte mit der Low-Volatility-Strategie zu tun haben könnte? Mehr als man glaubt. Berghorn und die Co-Autoren untersuchten die Trends der Aufwärts- und der Abwärtsbewegungen des Bloomberg World Index Ex China und stellten dabei fest, dass die Trendcharakteristika asymmetrisch sind. So verlaufen die Aufwärtsbewegungen länger und langsamer, während die Abwärtsbewegungen kürzer und schneller ausfallen. Ein Ergebnis, das auch alle Praktiker im Markt wahrnehmen. Die Doppelgrafik „Asymmetrische Trendcharakteristika“ il­lus­triert links diese unterschiedlichen Trendeigenschaften anhand der Gegenüberstellung der durchschnittlichen Auf- und Abwärtstrends je nach Wavelet-Skalierung. Im rechten Teil der Grafik sieht man, dass ab einer Skalierung von 10/11 die Abwärtstrends stärker ausfallen.


Dazu kommt, dass die Volatilität in den Abwärtstrends dramatisch höher ist als in Aufwärtstrends. Berghorn hat bereits in einer früheren Arbeit festgestellt, dass Trendwechsel die Volatilität erhöhen. Die Vermutung war daher, dass Low Volatility aufgrund der Asymmetrie in stabile und lange Aufwärtstrends investiert. Tatsächlich gelang es, eine typische Low-Volatility-Strategie mithilfe einer Momentum-Strategie zu replizieren. Die in der Tabelle „Volatilitätsanomalie“ abgebildeten Risiko- und Ertragscharakteristika von Low Vol auf Basis des Bloomberg World Index Ex China zeigen fast dieselben Werte wie eine Momentum-Strategie mit einer Wavelet-Trendzer­legung auf Skala 52.


Allerdings sind diese Trends noch länger sichtbar als bis Skala 52, nämlich bis zur Skala 90, sodass es sich um extrem lange Aufwärtstrends handelt. Berghorn: „Klassische Momentum-Strategien sind nach unserem Modell auf kürzeren Wavelet-Skalen von 19 oder 34 parametrisiert. In einer Low Volatility-Strategie auf Basis des 100 Titel umfassenden Bloomberg World Index Ex China weisen bei einer Skalierung von 52 immerhin 75 Aktien Aufwärtstrends auf. ­Eine Low-Volatility-Strategie nimmt also die asymmetrischen Trendcharakteristika auf. Sie stellt ein indirektes Investment in längerfristige stabile Aufwärtstrends dar.“ Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass Low Vol und Momentum beide Trending ausnutzen. Low Volatility investiert ­also indirekt als Stabilitätsmaß in lange, stabile Aufwärtstrends, und der Hurst-Exponent selbst kann als Stabilitätsmaß der Renditen betrachtet werden.


Angesichts der Tatsache, dass sowohl Low Vol als auch der Hurst-Exponent Stabilitätsmaße sind und sich der Hurst-Exponent bei Momentum als renditesteigernd ­erwiesen hat, formulierte Berghorn die Hypothese, dass der Hurst-Exponent auch in Verbindung mit Low Volatility eine Verbesserung des Rendite-Risiko-Profils der Strategie bringen müsste. Denn schließlich bringt der Einsatz von Hurst eine stärkere Betonung von Trends mit sich. Beides sind charakteristische Stabilitätsmaße für Renditen. Dieses gemischte System mit der Gewichtung der 100 Titel auf Basis eines Faktors, der dem Quotienten aus Hurst-Exponenten und der 36-Monats-Volatilität entspricht, bringt tatsächlich eine deutliche Verbesserung des Ertrags mit sich. Dieser marschiert von 3,50 Prozent Rendite per annum auf 5,37 Prozent über das gleiche zwölfjährige Zeitfenster von 2005 bis 2016, während die Volatilität mit 8,75 Prozent zwar etwas über der der reinen Low-Vol-Strategie, aber noch immer deutlich unter jener des Index mit 14,98 Prozent liegt. Beim Maximum Drawdown gibt es zwischen Low Vol (–36,30 Prozent) und Low Vol mit Hurst kombiniert, wo man auf –38,80 Prozent kommt, ebenfalls keinen großen Unterschied. Die risi­koadjustierte Rendite hat sich jedenfalls durch den Einsatz des Hurst-Exponenten um beinahe 50 Prozent gegenüber Low Vol pur steigern lassen.


Aber es geht noch besser. Führt man beim Faktor Hurst/36-Monats-Volatilität ­eine Normalisierung in Form einer z-Score-Gewichtung ein, die die Ausreißer im Portfolio noch besser zur Geltung kommen lässt, verbessert sich die annualisierte Rendite erneut beträchtlich, und zwar auf 9,26 Prozent, wodurch der Markt mit 6,91 Prozent ganz klar geschlagen wird, ohne dass sich Volatilität (8,27 Prozent) und Maximum Drawdown (–37,19 Prozent) nennenswert verändern. Damit ist die Optimierung aber noch nicht vorbei. In einem weiteren Schritt griff Berghorn auf die Momentum-Strategie zurück und verschränkt diese mit Low Vol und Hurst zu einem gemeinsamen Ranking, wobei wieder das z-Scoring zum Einsatz kommt. „Diese Faktordiversifika­tion in einem gemeinsamen Ranking liefert bessere Ergebnisse als einen Gleichgewichtung von Momentum- und Low-Vol-Strategie“, weiß Berghorn. Und wieder ist ein ähnliches Bild zu beobachten: Die annualisierte Rendite steigt (hier auf beeindruckende 15,69 Prozent), doch die Risikokennzahlen kaum (Volatilität: 10,49 Prozent) beziehungsweise gar nicht (Maximum Drawdown: –37,14 Prozent). Die Tabelle „Strategievergleich“ setzt die dargestellten Strategien und deren Weiterentwicklungen zueinander ins Verhältnis.


Den Autoren ist also der Nachweis gelungen, dass Low Vol und Momentum auf Trending basieren. Von Random Walk der Renditen fehlt jede Spur, womit die Effizienzmarkttheorie widerlegt wurde. Das, was Benoît Mandelbrot Marktgedächtnis nannte, basiert letztlich auf Trends und erlaubt diese Faktorinvestments. Die wich­tigs­te praktische Erkenntnis der Arbeit besteht darin, dass Low Vol in Kombination mit dem Hurst-Exponenten die risikoadjus­tierte Rendite um 50 bis 136 Prozent erhöht, ohne dass dadurch das konservative Risikoprofil der Low-Vol-Strategie aufgegeben werden muss. Diese neue Form des Faktor-investments, die beide auf Trending basierenden Strategien verbindet, hat Charme. Derzeit plant Mandelbrot Asset Management leider noch keinen Fonds.    


Anhang:

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