Institutional Money, Ausgabe 2 | 2018

Strategien bei Aktien beobachten kann, wird mithilfe von Wavelets überprüft. Wavelets waren schon in den 80er- und 90er-Jahren in der Mathematik ein Thema. Sie finden Anwendung in der Signalver- arbeitung, vor allem in der Signalkompres- sion, bei denen eine Wavelet-Transforma- tion zugrunde liegt. Man denke nur an Bild- und Videodatenkompressionsverfahren wie etwa beim JPEG-2000 und MPEG-4-For- mat. Wichtig ist dabei die sogenannte Wavelet-Skala, also die Detailebene, auf der dann Signale analysiert werden. Hier die richtige Granularität zu finden, die sich im Zeitablauf auch ändern kann, ist eines der Erfolgsgeheimnisse. Die Grafik „Wavelets: Die Skala entscheidet“ illustriert verschie- dene Granularitäten bei der Trendzerlegung des Dax Performance Index zwischen 2004 und 2012. Neben Behavioral-Finance-Erklärungen gibt es ökonomische und mathematische Gründe. So verursacht das Gewinnwachs- tum in Unternehmen Kursanpassungen und damit ein Trending. Auch Gewinnrevisio- nen treiben das Momentum. Mathematisch betrachtet haben Trends unter der beispiel- haft gezeigten Wavelet-Zerlegung lognor- malverteilte Trendlängen und Trendsteige- rungen, wie unveröffentlichte Ergebnisse von Markus Vogls Masterarbeit zeigen. „Momentum-Aktien zu kaufen bedeutet ein Investment in überlange Trends“, fasst Berghorn zusammen. Lognormalverteilte Trendcharakteristika lassen sich in fast allen Aktien und auf allen Skalenebenen finden, weswegen ein Trendmodell eine gute Annahme darstellt. Doch welche Skala ist die beste? Trends weisen fraktale Charakteristika auf. Denn ob ein Markt oder eine Aktie im Aufwärts- oder Abwärtstrend ist, hängt ent- scheidend von der gewählten Skala (Granu- larität) bei der Trendzerlegung ab. So zeigt die Grafik „Wavelets: Die Skala entschei- det“ Trendzerlegungen mit vier unter- schiedlichen Granularitäten. In der Signal- theorie mit Wavelets gilt die verallgemei- nerte Heisenberg’sche Unschärferelation. Berghorn: „Die ist ein Optimalitätskriterium und besagt, dass es keinen anderen mathe- matischen Ansatz als den verwendeten gibt, um Trends präziser im Sinne dieses Funda- mentalsatzes zu lokalisieren.“ Trends haben auch keine feste Zeitskala, ein weiteres fraktales Merkmal. Damit ist auch die Frage geklärt, ob es so etwas wie einen Einjahres- trend gibt: „Nein“, lautet hier die Antwort des Mathematikers. Trends im Sinne dieses Kalküls haben schon auf einer festen Skala beliebig lange oder kurze Strukturen. „Ich bin sehr froh, dass sich Professor Schulz und sein Masterabsolvent Markus Vogl mit unserem Trendmodell auseinan- dergesetzt haben. Schließlich zeigen ihre empirischen Analysen auf einer kleineren Aktienkohorte, dass unsere Annahmen, wel- che charakteristischen Eigenschaften die Trends nach unserem Modell haben, statis- tisch unter hoher Sicherheit nicht abgelehnt werden können“, sagt Berghorn. Strategien, die auf Trends setzen, wie z.B. Momentum, können durchaus verschieden ausgeprägt sein. So wie es nicht die eine „Value“-Stra- tegie gibt, so gibt es auch bei Momentum durchaus verschiedenste sinnvolle Strategie- ansätze. Benoît Mandelbrot konnte gemeinsam mit J. W. Van Ness 1968 im Wesentlichen Albert Einsteins Grundlagenarbeiten zur Brown’schen Bewegung erweitern. Inspi- Dass die Faktoren Low Volatility und Momentum im Grunde beide auf Trends zurückzuführen sind, erschließt sich dem oberflächlichen Betrachter nicht so ohne Weiteres. Erst die mathematische Analyse fördert die Ähnlichkeiten zutage. Asymmetrische Trendcharakteristika Durchschnittliche Trendgröße (links) und Trenddrift (rechts) in den Auf- und Abwärtsbewegungen Die Grafiken stellen die unterschiedlichen Trendeigenschaften anhand der Gegenüberstellung der durchschnittlichen Auf- und Abwärtstrends je nach Wavelet-Skala dar. Links ist dargestellt, dass Aufwärtstrends im Mittel länger dauern und langsamer verlaufen, während Abwärtstrends kürzer und schneller ausfallen. Rechts sieht man, dass ab einer Wavelet- Skala von 10/11 die Abwärtstrends stärker ausfallen. Quelle: Studie 0 100 200 300 400 500 600 121 111 101 91 81 71 61 51 41 31 21 11 0 0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 121 111 101 91 81 71 61 51 41 31 21 11 0 Wavelet Scale Wavelet Scale D Average Size Upward Average Size Downward Average Abs Trend Drift Upward Average Abs Trend Drift Downward Average Trend Sizes Bloomberg World Ex China Average Trend Drifts Bloomberg World Ex China N o. 2/2018 | www.institutional-money.com 111 T H E O R I E & P R A X I S : FAK TOR I NVE S TMENT

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